Rette e piani nello spazio 1

[e.rapuano]

Scusate, ma la forma parametrica di un piano si converte in più forme cartesiane? in ogni caso queste dovrebbero uscire con i coefficienti multipli tra loro per avere dei piani coincidenti, no? Io già alla prima conversione, con 3 metodi diversi, ho trovato tre equazioni in forma cartesiana diverse...
la parametrica è: (1,-1,2) + t(3,0,1) + s(1,2,0)
e le cartesiane mi sono uscite:
-2x+y+6z+9=0
-2x+y+6z-9=0
-2x-2y+5z-10=0
è solo questione di errori di calcolo?

[Massimo Gobbino]

Scusate, ma la forma parametrica di un piano si converte in più forme cartesiane? in ogni caso queste dovrebbero uscire con i coefficienti multipli tra loro per avere dei piani coincidenti, no?

Assolutamente sì! La forma cartesiana è unica a meno di multipli (non nulli). Quindi una ed una sola delle tue (o meglio: al più una delle tue) è giusta. Per sapere quale un metodo facile è quello del "reverse engineering": quando sostituisci la parametrizzazione data nella cartesiana giusta, deve tornare l'identità 0=0.

Cerca di capire però che cosa ha prodotto gli errori: potrebbe non trattarsi (solo) di errori di calcolo.

[e.rapuano]

Scrivo qui di seguito i risultati che ho trovato per gli esercizi di "rette e piani nello spazio 1 ", potreste vedere se vi trovate o meno?
-2x+y+6z-9=0 | 9/rad(41)
7x-3y+z-1=0 | 1/rad(59)
-2x+2z=0 | 0
z-3=0 | 3
x-z+2=0 | rad(2)

4x+3y+z-5=0 | 5/rad(26)
x+y+z=0 | 0
x-y+z-1=0 | 1/rad(3)
x+y=0 | 0
y=0 | 0

12x+5y+13z-33=0 | 33/rad(338)
4x-y+2z=0 | 0
2x+3y+6=0 | 6/rad(13)
x+y=0 | 0
y-z=0 | 0

[nomeutente]

Il piano giusto è quello con a= - 2, b= 1, c= 6 e d= -9. Per la distanza dall'origine che hai fatto? Se non volessi applicare la formula dist = |d|/ ecc ecc, cosa potrei fare? (usando norme di differenze o rette ad esempio) Non mi è chiaro il punto del piano dal quale devo calcolare la distanza!!

[GIMUSI]

Il piano giusto è quello con a= - 2, b= 1, c= 6 e d= -9. Per la distanza dall'origine che hai fatto? Se non volessi applicare la formula dist = |d|/ ecc ecc, cosa potrei fare? (usando norme di differenze o rette ad esempio) Non mi è chiaro il punto del piano dal quale devo calcolare la distanza!!

credo che il modo migliore e più rapido sia quello di normalizzare l'equazione del piano a'x + b'y + c'z + d' = 0 e prendere il modulo di d', ti riferivi a questo modo?...

in alternativa si potrebbe scrivere l'equazione della retta per l'origine ortogonale al piano in forma parametrica, trovare l'intersezione con il piano e calcolare la distanza tra questo e l'origine...ma già solo a dirlo ci vuole mezzora

[nomeutente]

Il fatto è che vorrei capire da dove viene la formula ed avere un'idea del grafico di questa distanza perchè non so se la retta debba essere perpendicolare al piano o semplicemente basterebbe fare la norma della differenza tra il punto pìù vicino all'origine e l'origine stesso. In pratica la distanza è tra l'origine e cosa?

[GIMUSI]

Il fatto è che vorrei capire da dove viene la formula ed avere un'idea del grafico di questa distanza perchè non so se la retta debba essere perpendicolare al piano o semplicemente basterebbe fare la norma della differenza tra il punto pìù vicino all'origine e l'origine stesso

per quanto riguarda la formula relativa alla distanza piano origine...si deriva facilmente in modo del tutto a quanto fatto nella lezione 8 per una retta...riguarda gli appunti c'è un disegno molto chiaro...e per un piano il discorso è del tutto analogo...cerco di riassumertelo

1) per un piano passante per l'origine (d=0) l'equazione cartesiana è: ax+by+cz = 0; questa equazione si può interpretare come prodotto scalare tra:
- il generico vettore origine-punto appartenente al piano OP=(x,y,z)
- il vettore n=(a,b,c)
questo ci dice che tutti i punti appartenenti al piano hanno prodotto scalare nullo con il vettore n che quindi è normale al piano

2) se il piano non passa per l'origine l'equazione diventa ax+by+cz=d; anche questa equazione si può interpretare come prodotto scalare tra:
- il generico vettore origine-punto appartenente al piano OP=(x,y,z)
- il vettore n=(a,b,c)
questo ci dice che tutti i punti appartenenti al piano hanno lo stesso prodotto scalare con il vettore n, che quindi deve essere normale al piano.

Ora, se n è normalizzato (lo indico con n' =n/|n|) il prodotto scalare <OP,n'> corrisponde prorpio alla distanza del piano dall'origine =|OP|*1*cos(angolo).

Quindi se si normalizza l'equazione del piano dividendola per |n| si ottine una equazione equivalente a'x+b'y+c'z = d' nella quale |d'| corrisponde proprio alla distanza del piano dall'origine.

Forse detta così sembra complicata ma è una cosa banale. Se riguardi bene la lezione 8 credo che ti chiarirai le cose.

... In pratica la distanza è tra l'origine e cosa?

la distanza è tra l'origine e il punto del piano intercettato dalla retta perpendicolare al piano e passante per l'origine

[nomeutente]

Mi trovo grazie mille!!!!!

[GIMUSI]

Scrivo qui di seguito i risultati che ho trovato per gli esercizi di "rette e piani nello spazio 1 ", potreste vedere se vi trovate o meno?
-2x+y+6z-9=0 | 9/rad(41)
7x-3y+z-1=0 | 1/rad(59)
-2x+2z=0 | 0
z-3=0 | 3
x-z+2=0 | rad(2)

4x+3y+z-5=0 | 5/rad(26)
x+y+z=0 | 0
x-y+z-1=0 | 1/rad(3)
x+y=0 | 0
y=0 | 0

12x+5y+13z-33=0 | 33/rad(338)
4x-y+2z=0 | 0
2x+3y+6=0 | 6/rad(13)
x+y=0 | 0
y-z=0 | 0

mi tornano tutti tranne il 5° e il 13°...allego la tabella con le soluzioni

[e.rapuano]

Ora mi trovo con te! XD

[GIMUSI]

Ora mi trovo con te! XD

bene ...più faccio gli esercizi più mi rendo conto quanto sia importante verificare i risultati...ci si mette un attimo a sbagliare un segno...si perde un po' di tempo in più ma ne vale la pena

[alex994]

Scusate potreste spiegarmi come risolvere la terza parte di Rette e piani nello spazio 1

[GIMUSI]

Scusate potreste spiegarmi come risolvere la terza parte di Rette e piani nello spazio 1

si tratta di trovare l'equazione cartesiana del piano contenente la retta e passante per il punto dato...si può fare in vari modi...uno è ad esempio questo:

- si prendono due punti [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] distinti appartenenti alla retta data e si determinano i due vettori [tex]PA[/tex] e [tex]PB[/tex]

- si determina il vettore normale a [tex]PA[/tex] e [tex]PB[/tex]: [tex]n=(a,b,c)[/tex]

- si scrive l'equazione del piano avente per normale [tex]n[/tex]: [tex]ax+by+cz=d[/tex] (questo piano è parallelo al piano passante per [tex]PAB[/tex])

- si determina [tex]d[/tex] imponendo il passaggio per [tex]P[/tex]

- si normalizza l'equazione del piano al modulo di [tex]n[/tex]

- il parametro normalizzato [tex]d[/tex]' coincide con la distanza dall'origine

in alternativa:

- si parte dall'equazione cartesiana del piano [tex]ax+by+cz=d[/tex]

- si prendono due punti [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] distinti appartenenti alla retta

- si impone il passaggio del piano per [tex]A,B,P[/tex]

- le tre equazioni in quattro incognite ottenute forniscono [tex]a,b,c,d[/tex] a meno di un parametro di proporzionalità libero

- come prima normalizzando l'equazione si determina la distanza del piano dall'origine

oppure:

- si parte dall'equazione cartesiana del piano [tex]ax+by+cz=d[/tex]

- si sostituiscono per [tex]x,y,z[/tex] i corrispondenti valori parametrizzati della retta

- si ottiene un'equazione dalla quale, separando i termini in t dagli altri, derivano due condizioni su [tex]a, b, c, d[/tex]

- la condizione restante si trova imponendo il passaggio per [tex]P[/tex]

- le tre equazioni in quattro incognite forniscono [tex]a,b,c,d[/tex] a meno di un parametro di proporzionalità libero

- come prima normalizzando l'equazione si determina la distanza del piano dall'origine

come al solito è più facile da farsi che da dirsi...spero di esser stato chiaro