allego i risultati con svolgimento del test n.26 "Sottospazi vettoriali 4"
su segnalazioni ripetute di "13700" nella rev01 e poi nella rev02 sono stati corretti gli errori nell'esercizio "4c" circa la definizione del sottospazio [tex]V[/tex] tale che AB=BA (caso non banale che richiede la risoluzione di un sistema 9x9 )
OSS nel frattempo il prof. mi ha segnalata anche un errore nel 3b (per determinare W è stata imposta la condizione [tex]p(\sqrt{2})=p(-\sqrt{2})[/tex], mentre l'esercizio richiede [tex]p(\sqrt{2})=p(-\sqrt{2})[/tex]=0)
...attendo altre eventuali segnalazioni prima di fare ulteriori revisioni
zeus98 wrote:nell'esercizio con le matrici la lettera c per quanto riguarda la matrice identità la dimensione di V dovrebbe essere 3 e non 1.. giusto??
se [tex]AB=BA[/tex]...visto che [tex]B[/tex] non è invertibile ho dedotto che l'unica possibilità è che sia [tex]A=I[/tex]
in effetti non sono stato preciso perché in realtà la condizione è che [tex]A[/tex] sia multiplo di [tex]I[/tex] (cioè che sia diagonale con tutti gli elementi uguali)
se è così allora la base di [tex]V[/tex] sono tutti i multipli della matrice [tex]I[/tex] e quindi la sua dimensione è 1
GIMUSI wrote:
se [tex]AB=BA[/tex]...visto che [tex]B[/tex] non è invertibile ho dedotto che l'unica possibilità è che sia [tex]A=I[/tex]
Non riesco a vedere il perché ... ma se uno prova a scrivere una matrice con i 9 coefficienti incogniti e fa i due prodotti e impone che siano uguali?
in effetti qualche dubbio ce l'ho...le matrici multiple di [tex]I[/tex] soddisfano sicuramente la condizione...ma in effetti anche le matrici multiple di [tex]B[/tex] soddisfano la condizione...ci ripenso un po' su
si sa che in generale per matrici reali [tex]AB=BA[/tex] non è vero (e per matrici complesse )...
quindi sono abbastanza convinto (ma non ho idea di come si possa dimostrare ) che le possibilità da considerare si riferiscano ai seguenti casi particolari:
1) [tex]A = 0[/tex]
2) [tex]A =[/tex] multiplo di [tex]I[/tex]
3) [tex]A =[/tex] multiplo di [tex]B[/tex]
4) [tex]A =[/tex] multiplo di [tex]B^-^1[/tex]
essendo B non invertibile restano solo la "2" e la "3" che ovviamente includono anche la "1"
Beh io nel frattempo ho provato a fare il prodottone tra matrici con 9 incognite
se cerchiamo una matrice A fatta come
a b c
d e f
g h i
e imponiamo BA=AB viene una cosa così
2a+d=2a+2c (posto (1,1))
2b+e=a+c (posto (1,2))
2c+f=b (posto (1,3))
g=2d+2f (posto (2,1))
h=d+f (posto (2,2))
i=e (posto (2,3))
e poi mi vengono di nuovo le prime tre equazioni ...
le equazioni sono 6, le incognite sono 9, quindi ci sono almeno 3 parametri ... per cui dovrebbe essere di dimensione almeno 3, no?
13700 wrote:Beh io nel frattempo ho provato a fare il prodottone tra matrici con 9 incognite
se cerchiamo una matrice A fatta come
a b c
d e f
g h i
e imponiamo BA=AB viene una cosa così
2a+d=2a+2c (posto (1,1))
2b+e=a+c (posto (1,2))
2c+f=b (posto (1,3))
g=2d+2f (posto (2,1))
h=d+f (posto (2,2))
i=e (posto (2,3))
e poi mi vengono di nuovo le prime tre equazioni ...
le equazioni sono 6, le incognite sono 9, quindi ci sono almeno 3 parametri ... per cui dovrebbe essere di dimensione almeno 3, no?
credo tu abbia fatto bene a fare il sistemone ...più tardi proverò a far lo stesso e poi ci confrontiamo...ripensandoci in effetti non si possono escludere con certezza altri casi particolari...
ad esempio se la matrice [tex]B[/tex] avesse lo stesso Ker di [tex]B^t[/tex] (non è l caso dell'esercizio ma in generale potrebbe capitare) allora potrebbe esistere A non nulla tale che AB=BA=0...insomma qui urge chiarimento del Prof. Gobbino
zeus98 wrote:nell'esercizio con le matrici la lettera c per quanto riguarda la matrice identità la dimensione di V dovrebbe essere 3 e non 1.. giusto??
se [tex]AB=BA[/tex]...visto che [tex]B[/tex] non è invertibile ho dedotto che l'unica possibilità è che sia [tex]A=I[/tex]
in effetti non sono stato preciso perché in realtà la condizione è che [tex]A[/tex] sia multiplo di [tex]I[/tex] (cioè che sia diagonale con tutti gli elementi uguali)
se è così allora la base di [tex]V[/tex] sono tutti i multipli della matrice [tex]I[/tex] e quindi la sua dimensione è 1
mi sa che ho detto (tanto per cambiare) una cretinata...se [tex]AB=BA[/tex] e [tex]B[/tex] fosse invertibile allora [tex]A=BAB^-^1[/tex]...allora [tex]A[/tex] sarebbe simile a se stessa e questo penso sia possibile solo per [tex]A[/tex] multiplo di [tex]I[/tex] e che per [tex]A[/tex] multiplo di [tex]B[/tex]...
il fatto è che nel caso in esame [tex]B[/tex] non è invertibile...quindi credo che l'unica via per determinare una base di V sia proprio il sistemone
Last edited by GIMUSI on Monday 30 December 2013, 15:10, edited 1 time in total.
GIMUSI wrote:se [tex]AB=BA[/tex] e [tex]B[/tex] fosse invertibile allora [tex]A=BAB^-^1[/tex]...allora [tex]A[/tex] sarebbe simile a se stessa e questo penso sia possibile solo per [tex]A[/tex] multiplo di [tex]I[/tex]
Uhm, questo mi convince poco ... Se ad esempio B fosse l'identità, dunque più invertibile che mai ...
GIMUSI wrote:se [tex]AB=BA[/tex] e [tex]B[/tex] fosse invertibile allora [tex]A=BAB^-^1[/tex]...allora [tex]A[/tex] sarebbe simile a se stessa e questo penso sia possibile solo per [tex]A[/tex] multiplo di [tex]I[/tex]
Uhm, questo mi convince poco ... Se ad esempio B fosse l'identità, dunque più invertibile che mai ...
ammetto...sono nel completo marasma matriciale ...e se dicessi che
...se AB=BA e B fosse invertibile ma non multiplo di [tex]I[/tex] allora A=BAB^-^1 sarebbe possibile solo per [tex]A[/tex] multiplo di [tex]I[/tex] o per [tex]A[/tex] multiplo di [tex]B[/tex]?
GIMUSI wrote:...se AB=BA e B fosse invertibile ma non diagonale allora A=BAB^-^1 sarebbe possibile solo per [tex]A[/tex] multiplo di [tex]I[/tex] o per [tex]A[/tex] multiplo di [tex]B[/tex]?
Nemmeno, basta provare con una qualunque B diagonale. L'insieme delle matrici che commutano con B, come avrai osservato, è un sottospazio vettoriale, mentre quelli che consideri tu, con doppia opzione, non lo sono. In altre parole, quando è vero per l'identità e per B, allora di sicuro è vero anche per tutte le combinazioni lineari di Identità e B.
GIMUSI wrote:...se AB=BA e B fosse invertibile ma non diagonale allora A=BAB^-^1 sarebbe possibile solo per [tex]A[/tex] multiplo di [tex]I[/tex] o per [tex]A[/tex] multiplo di [tex]B[/tex]?
Nemmeno, basta provare con una qualunque B diagonale. L'insieme delle matrici che commutano con B, come avrai osservato, è un sottospazio vettoriale, mentre quelli che consideri tu, con doppia opzione, non lo sono. In altre parole, quando è vero per l'identità e per B, allora di sicuro è vero anche per tutte le combinazioni lineari di Identità e B.
ultimo tentativo poi m'arrendo...
...se [tex]AB=BA[/tex] e [tex]B[/tex] è invertibile allora [tex]A=BAB^-^1[/tex] è soddisfatta per [tex]A[/tex] = combinazione lineare di [tex]I[/tex] e di [tex]B[/tex]?
Uhm se il sistema che ho scritto io è giusto, ci sono anche cose che non sono combinazione lineare di I e B... perché ha almeno dimensione 3 l'insieme delle soluzioni, ma se è generato da I e B, ha dimensione 2.
con svolgimento del test n.26 "Sottospazi vettoriali 4"
)
... ma se uno prova a scrivere una matrice con i 9 coefficienti incogniti e fa i due prodotti e impone che siano uguali?
) che le possibilità da considerare si riferiscano ai seguenti casi particolari:
