Equazione parametrica con radice e valore assoluto

[Valerio]

Come determinare per quali valori del parametro reale a>0, l'equazione

\(2ax=\sqrt{|x-a|}\)

ha due soluzioni reali e distinte? Ho provato a risolverlo studiando i due casi in funzione del segno dell'argomento del valore assoluto. In questo modo vengono fuori 2 equazioni in x di secondo grado ma ancora non ho ben inquadrato come concludere. Meglio seguire un altro metodo oppure la strada è giusta anche se non riesco a concludere l'esercizio ?

[GIMUSI]

per prima cosa credo che questo esercizio andasse postato in "Preliminari"

per la soluzione credo che dovresti per prima cosa distinguere due casi (x>=a e x<a)

per ogni caso, elevando al quadrato si ottengono due equazioni di secondo grado che puoi risolvere imponendo le due condizioni richieste

- delta > 0

- x>=a in un caso e x<a nell'altro [edit: c'erano degli zeri al posto della "a"]

credo che vengano dei conti un po' lunghi eh...e magari c'è qualche via più rapida

[Massimo Gobbino]

per prima cosa credo che questo esercizio andasse postato in "Preliminari"

... e io sposto ... e metto un titolo più sensato ... ma sarà il gran caldo che spinge la gente a postare in sezioni a caso con titoli random?

Quanto all'esercizio, in questo caso farsi un'idea con una interpretazione grafica sarebbe istruttivo.

[Valerio]

Giusto professore. Diciamo che è stato il gran caldo

[GIMUSI]

allego un possibile svolgimento secondo la prima idea che mi era venuta in mente

e come suggerito dal prof, con l'interpretazione grafica ci si arriva in modo più diretto

[EDIT] in revisione

[GIMUSI]

rivedendo la soluzione oggi mi viene qualche dubbio

credo ci sia qualcosa da rimettere a posto!

[Valerio]

Ho visto lo svolgimento. La soluzione esatta dell'esercizio è a=2^(-4/3). Io penso che una volta chiarito graficamente cosa sono i due oggetti 2ax (una retta per l'origine con coeff. ang. positivo ) e √Ix-aI (una radice che si annulla in un certo a>0 e simmetrica rispetto la retta immaginaria x=a) basta risolvere \(4a^2x^2=x-a\) (cioè faccio il quadrato con le opportune condizioni d'esistenza, anche se poi alla fine non mi pare servano ad un granchè se non per sbattere via il valore assoluto ). E' un'eq. di secondo grado ed impostando delta =0 ( perchè la retta 2ax deve essere tangente alla funzione √Ix-aI per esserci 2 soluzioni ed il delta nullo è la condizione che deve verificarsi per garantire la tangenza di questi due oggetti) si trova proprio a=2^(-4/3). Il risultato torna quindi dovrebbe essere corretto. Giusto?

[GIMUSI]

graficamente pare ci siano due soluzioni corrispondenti ai valori a* di tangenza (positivo e negativo direi)

la tua interpretazioni su come ricavarla algebricamente non mi convince molto...in serata conto di rifarlo per benino...sempre che ci riesca eh

poi magari la commentiamo

[GIMUSI]

allego qui una possibile soluzione revisionata

credo sia opportuno in effetti, come indicato dal prof, partire subito dall'interpretazione grafica che consente di avere subito un'idea chiara di come vanno le cose e di determinare la soluzione imponendo le condizioni di tangenza

ho tentato anche di sviluppare un "modo algebrico" che in assenza di un'interpretazione grafica risulta ricco di insidie e tranelli (l'elevamento al quadrato aggiunge soluzioni da scartare); fatto a posteriori invece credo che funzioni abbastanza bene

ci sentiamo come detto per commenti e osservazioni

[Valerio]

allego qui una possibile soluzione revisionata

credo sia opportuno in effetti, come indicato dal prof, partire subito dall'interpretazione grafica che consente di avere subito un'idea chiara di come vanno le cose e di determinare la soluzione imponendo le condizioni di tangenza

ho tentato anche di sviluppare un "modo algebrico" che in assenza di un'interpretazione grafica risulta ricco di insidie e tranelli (l'elevamento al quadrato aggiunge soluzioni da scartare); fatto a posteriori invece credo che funzioni abbastanza bene

ci sentiamo come detto per commenti e osservazioni

Negli ultimi passaggi dell'interpretazione grafica non ho capito perchè la x sparisce e viene sostituita con una quantità in funzione di teta. ( Chiedo scusa ma deve essermi partita accidentalmente una segnalazione nel tentativo precedente di fare questa domanda )

[GIMUSI]

...Negli ultimi passaggi dell'interpretazione grafica non ho capito perchè la x sparisce e viene sostituita con una quantità in funzione di teta. ( Chiedo scusa ma deve essermi partita accidentalmente una segnalazione nel tentativo precedente di fare questa domanda )

una volta ricavato

\(x-a=1/16a^2\)

si ricava

\(x=1/16a^2 + a\)

quindi si impone

\(2ax=(x-a)^{0.5}\) (ultima equazione scritta)

e poi si ricava \(a*\)

[Valerio]

...Negli ultimi passaggi dell'interpretazione grafica non ho capito perchè la x sparisce e viene sostituita con una quantità in funzione di teta. ( Chiedo scusa ma deve essermi partita accidentalmente una segnalazione nel tentativo precedente di fare questa domanda )

una volta ricavato

\(x-a=1/16a^2\)

si ricava

\(x=1/16a^2 + a\)

quindi si impone

\(2ax=(x-a)^{0.5}\) (ultima equazione scritta)

e poi si ricava \(a*\)

Quindi ricapitolando : Per essere tangenti i due oggetti devono avere le derivate uguali, mi ricavo la x tenendo conto di ciò e una volta ricavata la sostituisco nell'equazione iniziale. Determino così il valore esatto del parametro a. Fin qui ho capito ma mi chiedo, dato che il risultato tornava, cosa c'era di sbagliato nell'elevare al quadrato \(2ax=√(x-a)\) ed imporre il delta dell'equazione di secondo grado che veniva fuori uguale a zero?

[GIMUSI]

...ma mi chiedo, dato che il risultato tornava, cosa c'era di sbagliato nell'elevare al quadrato \(2ax=√(x-a)\) ed imporre il delta dell'equazione di secondo grado che veniva fuori uguale a zero?

visto nell'ambito dello stesso procedimento con interpretazione grafica è assolutamente ok (se sai già che una soluzione viene fuori dal ramo sinistro e imponi di averne solo una per il lato destro) ... forse nella prima lettura non avevo interpretato correttamente le tue intenzioni

[Valerio]

Perfetto, grazie mille ancora una volta per l'aiuto e la disponibilità . Almeno sono venuti fuori più metodi per risolvere lo stesso esercizio.