Teorema Spettrale

[dario.gullo]

Salve professore,
nel "Corso di Algebra Lineare e Analisi Matematica II - A.A. 2013/2014" , nella lezione 42,
ciò che viene definito come "Fatto 3" , ha tra le ipotesi che la matrice A sia ortogonale.
Come faccio ad applicare nella prima uguaglianza della dimostrazione la "simmetria" , se non ho tra le ipotesi che la matrice stessa è simmetrica?

[Massimo Gobbino]

eheh, brutti scherzi dell'età L'ipotesi è ovviamente (essendo all'interno della dimostrazione del teorema spettrale) che A sia simmetrica ...

[dario.gullo]

Professore,
ma nella lezione 43 dello stesso corso, quando si dimostra il Teorema Spettrale,
nel passaggio induttivo viene presa una nuova base W nella quale rappresentare la matrice A.
Per poter affermare che la sotto-matrice "B" in questa nuova base sia simmetrica, devo assumere la base W ortogonale?
Mi scuso se insisto sul Teorema Spettrale, ma è per capire se ho capito. Grazie in anticipo

[Massimo Gobbino]

Calma, calma. Quello che è indicato con W non è una base, ma è lo spazio ortogonale all'autovettore v la cui esistenza è assicurata dal fatto 4.

Applicando opportunamente il fatto 3, segue che l'applicazione rappresentata dalla matrice A manda W in W, il che ci autorizza a definire B come la restrizione dell'applicazione A a W. Se l'applicazione A era simmetrica in grande, cioè "migrava nei prodotti scalari tra vettori qualunque", allora in particolare l'applicazione A "migra nei prodotti scalari tra vettori di W", quindi l'applicazione B è simmetrica.

Ora interviene l'ipotesi induttiva, per la quale esiste una base di W fatta da (auto)vettori ortonormali. Questa base ortonormale di W, unita al v di partenza, forma una base ortonormale dello spazio di partenza nella quale A è diagonale.

Spero di essermi spiegato ... C'è sempre il rischio di contaminazione tra "matrici" e "applicazioni lineari", che sono due facce della stessa medaglia. Forse in questo caso è più utile pensare tutto in termini di applicazioni.

[dario.gullo]

Scusi professore,
ho provato a seguire il suo consiglio.
Ho seguito anche un altro suo consiglio (giustissimo) :"fate esercizi", per cui ho provato a ripercorrere la dimostrazione del Teorema Spettrale della lezione 43 come se fosse un esercizio.
Di fatto ho svolto un semplice esercizio e di seguito allego un piccolo file (forse meglio aprirlo con Word 2010) dello stesso :

Teorema Spettrale.docx

(18.45 KiB) Downloaded 337 times

Probabilmente c'è qualcosa che non va nel ragionamento, ma se così fosse, che cosa? La prego, un piccolo aiuto. Grazie

[Massimo Gobbino]

Non puoi fare un pdf? Le versioni di word non sono compatibili tra di loro per cui non si vede nulla della matematica ...

[dario.gullo]

Si Professore, in realtà io ci avevo provato (viene un file in formato PDF di 400KB) e purtroppo s'interrompe il caricamento per dimensioni eccessive.
Comunque Le ho inviato una e-mail a questo indirizzo [EDIT: oscurato].
Il mio account è: [EDIT: oscurato]
"l'oggetto" dell'e-mail è: Teorema Spettrale

Spero sia leggibile ora

[Massimo Gobbino]

Ho aumentato i massimali a 2 Mb. Prova ad allegare il file ora.

Già che c'ero, ho oscurato gli indirizzi di mail che avevi scritto nel tuo post. Non è mai una buona politica lasciarli in chiaro a disposizione degli spam-bot ...

[dario.gullo]

Si, effettivamente ha ragione... mi scuso per la "leggerezza".
Comunque ecco il file

Teorema Spettrale.pdf

(400.51 KiB) Downloaded 399 times

[Massimo Gobbino]

Uhm, non mi torna che l'autospazio di -1 abbia dimensione 2 ...

[dario.gullo]

A me sembrerebbe corretto Professore, infatti:
dim(Ker(A-(-1)I))=n- rango(A+I)=3-1=2

[Massimo Gobbino]

A me sembrerebbe corretto Professore, infatti:
dim(Ker(A-(-1)I))=n- rango(A+I)=3-1=2

Giusto, errore mio

Quanto al resto, è giusto pure. Se uno prende una applicazione simmetrica, e cambia base in maniera non ortogonale, può accadere che nella nuova base la matrice non sia più simmetrica.

Tutto nasce dall'"inciucio" tra matrici e applicazioni. Vediamo di rispiegare tutto meglio.

Un'applicazione lineare, e sottolineo applicazione, si dice simmetrica se "migra nei prodotti scalari" (spero si capisca). Una matrice, e sottolineo matrice, si dice simmetrica se coincide con la sua trasposta.

Legame tra le due definizioni: un'applicazione lineare è simmetrica se e solo se la sua matrice, ottenuta usando in partenza ed arrivo una stessa base *ortonormale*, è simmetrica. E' essenziale che la base sia ortonormale: un'applicazione lineare simmetrica può dare origine ad una matrice non simmetrica, se rappresentata rispetto ad una base non ortonormale.

Ora, cosa dice il teorema spettrale? Per ogni applicazione lineare simmetrica esiste una base ortonormale nella quale è rappresentata da una matrice diagonale. La dimostrazione consiste dei seguenti passi:

• mostrare che esiste un autovalore v reale (e questo è il fatto 4),
• definire il sottospazio W come l'ortogonale di W e mostrare che F manda W in W (e questo è il fatto 3),
• verificare che f ristretta a W è un'applicazione simmetrica (che è una banalità perché è la migrazione ristretta ai vettori di W),
• utilizzare l'ipotesi induttiva per concludere che esiste una base di W che diagonalizza la restrizione.

E' chiaro a posteriori che il teorema spettrale si può enunciare anche in termini di matrici come segue: ogni matrice A simmetrica (ora sto parlando di matrici) è simile ad una matrice diagonale, con la similitudine data da una matrice M ortogonale. L'enunciato in termini di matrici si ricava da quello in termini di applicazioni in maniera piuttosto semplice. Basta associare alla matrice A l'applicazione rappresentata da A, per esempio, nella base canonica e diagonalizzare quella applicazione.

In alternativa, si può procedere in maniera più matriciale, prendendo una base di W, ma in tal caso, come giustamente osservavi tu in un post precedente, la base di W va presa ortonormale se voglio assicurarmi che la sottomatrice B rimasta sia simmetrica.

Spero di aver chiarito di più rispetto a quanto fatto a lezione. Altrimenti richiedete pure!

[dario.gullo]

Credo d'aver capito quando Lei dice "migrare nel prodotto scalare"; dovrebbe essere questo fatto spiegato nella lezione 42:
<Au,v>=<u,Av>
dove però A non deve essere intesa come mera matrice ma come "applicazione lineare"....se poi associamo all'applicazione lineare la matrice, allora abbiamo come conseguenza che se l'applicazione stessa, ha la stessa base ortonormale in partenza e arrivo allora tale matrice è simmetrica; se prendo altre basi "strane" la matrice potrebbe anche essere non simmetrica ma l'applicazione lineare (quella tra basi ortonormali) sarebbe ancora simmetrica.

Effettivamente così è una banalità dire che se un'applicazione lineare è simmetrica (ovvero rispetta <Au,v>=<u,Av> ) "in grande" lo è anche in una sua restrizione...nel caso della dimostrazione è come se l'applicazione lineare simmetrica prendesse in INPUT vettori "un pò più corti", quindi l'applicazione è un pò più piccola e ad essa corrisponde quella famosa sottomatrice B della lezione 43

Spero d'aver capito bene

[ueshiba]

Sono arrivato qui per scrivere di un dubbio che mi è sorto sul Teorema Spettrale ma dopo aver letto i post precedenti mi s'è aperta una voragine di contraddizioni e ci sono cascato dentro pieno

Dunque parto dal primo dubbio: La definizione che viene data a LEZ. 42 "La matrice A è simmetrica <=> <Au,v> = <u,Av> per ogni u,v" ho provato a sostituirla con "Sia A una matrice che rappresenta un' applicazione lineare f, allora f è simmetrica <=> <Au,v> = <u,Av> per ogni u,v" ma poi non mi quadra piu' la sua dimostrazione poichè il legame che viene usato è diverso

Legame tra le due definizioni: un'applicazione lineare è simmetrica se e solo se la sua matrice, ottenuta usando in partenza ed arrivo una stessa base *ortonormale*, è simmetrica. E' essenziale che la base sia ortonormale: un'applicazione lineare simmetrica può dare origine ad una matrice non simmetrica, se rappresentata rispetto ad una base non ortonormale.

Il secondo dubbio invece: nel Teorema Spettrale si parla di una matrice A diagonalizzabile mediante una base ortonormale, ovvero per cui esiste una M invertibile t.c. M(-1)AM = D. Subito sotto in "Detto in altro modo:" viene usata M ortogonale al posto della base ortonormale. Non mi torna che M sia ortogonale, perchè viene costruita con le componenti di una base ortonormale rispetto ad una base non definita (mi torna il caso in cui la base di A in partenza e in arrivo sia la base canonica, ma non nel caso di una generica base)

Infine non mi tornano piu' sulle dimostrazioni del Teo. Spettrale tutti i riferimenti a "matrice simmetrica", ma semplicemente per il primo dubbio e il legame di cui ho parlato.

Qualcuno sa darmi una mano ?

PS: comunque cercando in giro ho trovato che l'applicazione lineare f t.c. verifica <Au,v> = <u,Av> viene chiamato anche Autoaggiunta, correggetemi se sbaglio

[ueshiba]

bump