AM2_20 (Lockdown Edition) -- Errori nelle lezioni

[vesponescassato]

Lezione 45 esempio 1:
Nel calcolo dell'area la matrice per il calcolo dei minori non dovrebbe essere \(\begin{pmatrix}
* &* &* \\
2u & 2 & v \\
-1 & 1 & 2v+u \\
\end{pmatrix}\)

che da come risultato

\(M_1=(3v+2u),\qquad M_2=(-4vu,-2u^2+v),\qquad M_3=(2u+2).\)

[Massimo Gobbino]

Eheh, ricopiare da una schermata all'altra con il tablet è sempre un'angoscia .

[vesponescassato]

Mi scusi professore se la infastidico sempre. Lezione 45 Superfici di rotazioni: il minore \(M2\) non dovrebbe essere \(-\dot z(t)y(t)\sin\theta\) ?

[Massimo Gobbino]

Mi scusi professore se la infastidico sempre. Lezione 45 Superfici di rotazioni: il minore \(M2\) non dovrebbe essere \(-\dot z(t)y(t)\sin\theta\) ?

Sì, certo, c'è il doppio cambio di segno.

Nessun fastidio, ovviamente. Anzi, segnalare gli errori (anche quelli banali come questo) è un lavoro socialmente utile. E conferma che almeno qualcuno sta seguendo davvero quelle lezioni .

[Esseneto]

Salve Professore, nell'esempio 4 della lezione 5 il limite non dovrebbe essere 0? Si potrebbe dimostrare dicendo che 0 <= x^2* y/(x+y) <= x^2; quindi il limite tende a 0 per carabinieri? Nell'avvicinamento (t, -t+t^2020) il denominatore non viene semplificato con t^3 del numeratore, rimanendo t^2020; semplificando dovrebbe diventare t^2017 permettendomi di avere come risultato 0 (ho però paura di aver sbagliato qualche calcolo/ragionamento).

[Esseneto]

Nell'avvicinamento (t, -t+t^2020) il denominatore non viene semplificato con t^3 del numeratore, rimanendo t^2020; semplificando dovrebbe diventare t^2017 permettendomi di avere come risultato 0 (ho però paura di aver sbagliato qualche calcolo/ragionamento).

Ho fatto un grave errore di distrazione, le chiedo scusa per il disturbo.

[Massimo Gobbino]

Beh, in effetti l'errore nella semplificazione c'è, per cui all'ultima riga resta in effetti \(t^{2017}\). Questo non cambia di molto la situazione, almeno se si fa il limite per \(t\to 0^+\).

Si potrebbe dimostrare dicendo che 0 <= x^2* y/(x+y) <= x^2; quindi il limite tende a 0 per carabinieri?

La cosa importante è capire bene dove sta l'errore nel ragionamento qui sopra.

[Davide Fumagalli]

Scusi professore, nell'esempio 6 della lezione 11 di esercizi: a fine pagina troviamo 4 punti, ma non dovrebbero essere 2 punti di minimo e 2 punti di massimo? perché la funzione è f(x,y) = xy^2

[Massimo Gobbino]

nell'esempio 6 della lezione 11 di esercizi: a fine pagina troviamo 4 punti, ma non dovrebbero essere 2 punti di minimo e 2 punti di massimo? perché la funzione è f(x,y) = xy^2

Assolutamente sì, e a quel punto gli infiniti punti stazionari sull'asse x non sono né punti di massimo, né punti di minimo. L'errore chiave è alla fine, dove ovviamente la funzione \(\varphi(t)\) è dispari, e non pari come disegnata (la parte sui t positivi è corretta, quella sui t negativi va ribaltata in giù).

E pensare che il lockdown era appena iniziato .

[Davide Fumagalli]

scusi prof, ma nell'esempio 4 della lezione 23, non dovrei lavorare coi moduli? perchè se utilizzo soltanto le coordinate sferiche mi viene che f <= 1 /\( \rho \) e basta.
invece se lavoro coi moduli arrivo ad avere \( 0 <= f <= 1/ \rho\) e poi concludo coi carabinieri, oppure sto sbagliando qualcosa?

[Massimo Gobbino]

Qui il discorso non mi torna. Certamente se faccio il limite su tutto il piano devo mettere i moduli, o fare dei ragionamenti di simmetria per ridurmi al primo quadrante, ma tutto questo solo dopo aver fatto il cambio di variabili (non so se l'ho osservato a voce nel video, ma erano esercizi riassuntivi e quindi quella parte ci sta che sia stata data per buona per concentrarsi sul core business, cioè il cambio di variabili).

Se non faccio il cambio di variabili e sostituisco bovinamente le coordinate sferiche nell'espressione iniziale non trovo

\(f\leq\dfrac{1}{\rho}\)

nemmeno a meno di costanti, perché avrei problemi enormi a trattare le parti trigonometriche al denominatore. Questo è fondamentale capirlo bene.

[Davide Fumagalli]

Il discorso del cambiare variabili lo avevo capito e, erroneamente, l'ho dato per scontato nel messaggio precedente.
Ma quindi il mio dubbio è sempre lo stesso: se voglio dimostrare che quella funzione tende a 0 all'infinito io cambio variabili, uso le coordinate sferiche e infine uso i moduli(?)

[Massimo Gobbino]

Ise voglio dimostrare che quella funzione tende a 0 all'infinito io cambio variabili, uso le coordinate sferiche e infine uso i moduli(?)

Sì. Se non vuoi usare i moduli, puoi fare il limite nel primo quadrante, dove tutto è positivo, e concludere con qualche argomento di simmetria.

[m.catalini]

Buongiorno professore, vorrei porle delle domande riguardanti il corso di analisi 2 dell'anno 19/20.

Nell'esempio 3 della lezione 13, nel punto in cui fa la derivata parziale di fi2 rispetto a Z, sbaglio o ci dovrebbe essere un -2z?

Nell'esempio 2 della lezione 12, quando va a trovare i punti di max/min relativi al 2°sistema, a me alcuni vengono pari a (1, -(sqrt(3)/2), -(sqrt(3)/2)), mentre lei riporta, per quanto riguarda y e z solo sqrt(3). Potrebbe dirmi quale dei due è corretto?

Grazie mille!
Saluti.

[Edit by Massimo Gobbino: spostato nella sezione giusta]

[Massimo Gobbino]

Nell'esempio 3 della lezione 13, nel punto in cui fa la derivata parziale di fi2 rispetto a Z, sbaglio o ci dovrebbe essere un -2z?

Nell'esempio 2 della lezione 12, quando va a trovare i punti di max/min relativi al 2°sistema, a me alcuni vengono pari a (1, -(sqrt(3)/2), -(sqrt(3)/2)), mentre lei riporta, per quanto riguarda y e z solo sqrt(3). Potrebbe dirmi quale dei due è corretto?

Faccio fatica a seguire queste osservazioni, perché sono un po' generiche. Non è che potresti essere più specifico, riportando le tue soluzioni in modo che si veda dove ci sono le differenze?