limite

[francicko]

Non riesco a calcolare in modo corretto il seguente limite per [tex]x->0[/tex], di [tex]1/x^2-(1/(sinx)^2)[/tex].
Resto in attesa di una risposta.
Grazie!

[Noisemaker]

Non riesco a calcolare in modo corretto il seguente limite per [tex]x->0[/tex], di [tex]1/x^2-(1/(sinx)^2)[/tex].
Resto in attesa di una risposta.
Grazie!

se il limite e questo

[tex]\displaystyle\lim_{x \to 0}\,\,\, \frac{1}{x^2}-\frac{1}{\sin^2 x}[/tex]

io farei cosi: anzitutto scriverei il limite come segue:

[tex]\displaystyle\lim_{x \to 0}\,\,\, \frac{1}{x^2}-\frac{1}{\sin^2 x}=\lim_{x \to 0}\,\,\, \frac{\sin^2 x- x^2}{x^2\sin^2 x}[/tex]

ora ricordando che

[tex]\sin x \sim x, \quad \mbox {quando} \quad x\to 0[/tex]

a denominatore abbiamo:

[tex]\displaystyle\lim_{x \to 0}\,\,\, \frac{\sin^2 x- x^2}{x^2\sin^2 x}\sim \lim_{x \to 0}\,\,\, \frac{\sin^2 x- x^2}{x^4}[/tex]

ora utilizzando gli sviluppi di Taylor per il seno abbiamo che:

[tex]\displaystyle \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3), \quad \mbox {e dunque} \quad \sin^2 x=\left(x-\frac{x^3}{3!}\right)^2[/tex] :

allora il limite diviene:

[tex]\displaystyle\lim_{x \to 0}\,\,\, \frac{1}{x^2}-\frac{1}{\sin^2 x} =[/tex] [tex]\displaystyle\lim_{x \to 0}\,\,\, \frac{\sin^2 x- x^2}{x^2\sin^2 x}\sim[/tex] [tex]\displaystyle\lim_{x \to 0}\,\,\, \frac{\sin^2 x- x^2}{x^4}\stackrel{\bf(T)}{=}[/tex] [tex]\displaystyle\lim_{x \to 0}\,\,\, \frac{ \left(x-\frac{x^3}{3!}\right)^2- x^2}{x^4} =[/tex] [tex]\displaystyle\lim_{x \to 0}\,\,\, \frac{ x^2-\frac{2}{3!}\,\,x^4+o(x^4) - x^2}{x^4} =[/tex] [tex]\displaystyle\lim_{x \to 0}\,\,\,-\frac{2}{3!}\cdot \frac{ x^4 }{x^4}=-\frac{1}{3}[/tex]

[francicko]

Mi interesserebbe conoscere una soluzione di tale limite, se possibile, senza l'uso dello sviluppo in serie di taylor.

[Massimo Gobbino]

Dal momento che il limite coinvolge termini successivi dello sviluppo del seno, non si può fare con i soli limiti notevoli. Servono per forza strumenti di ordine superiore, come Taylor o De L'Hopital.

[francicko]

Grazie per la risposta!!
Quindi se ad esempio ho il seguente limite per [tex]x[/tex] tendente ad infinito,di [tex](1-sin(1/n))^n[/tex], che da origine alla forma indeterminata [tex]1[/tex] elevato infinito, posso risolverlo usando il fatto che all'infinito [tex]sin(1/n)[/tex]
si approssima ad [tex]1/n[/tex], quindi posso scrivere [tex]lim (1-sin(1/n)^n[/tex][tex]=lim (1-1/n)^n[/tex][tex]=lim(1+(1/-n))^n[/tex][tex]=lim((1+1/-n)^-^n)^-^1)[/tex][tex]=e^-^1)=1/e[/tex].
Mentre se ho il limite sempre per [tex]n[/tex] tendente ad infinito, di [tex](2-cos1/n)[/tex] il tutto elevato ad [tex]n^2[/tex], allora sono costretto a ricorrere allo sviluppo in serie di taylor, ottenendo così come risultato finale la radice quadrata di [tex]1/e[/tex], scusate se non sono riuscito a scrivere tutti i passaggi in latex, ma conosco ancora poco il linguaggio.

[Massimo Gobbino]

No, questo

[tex]\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(2-\cos\frac{1}{n}\right)^{n^2}[/tex]

si può fare con i soli limiti notevoli. Basta scriverlo come esponenziale e poi fare il limite dell'esponente sfruttando il limite notevole con il logaritmo. Conviene anche il cambio di variabili [tex]x=\displaystyle\frac{1}{n}[/tex].

[francicko]

Può darmi ,se possibile ,una traccia in pìù , perchè non riesco a risolverlo senza l'uso di taylor.

[Massimo Gobbino]

Dopo il cambio di variabili diventa

[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0}(2-\cos x)^{1/x^2}[/tex]

A questo punto uno lo scrive come esponenziale e si riduce a fare il limite dell'esponente

[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\log(2-\cos x)}{x^2}}[/tex]

Ora

[tex]\dfrac{\log(2-\cos x)}{x^2}}=\dfrac{\log(1+(1-\cos x))}{1-\cos x}\cdot\dfrac{1-\cos x}{x^2}[/tex]

e siamo ridotti a limiti notevoli (per il primo fattore serve il cambio di variabili [tex]y=1-\cos x[/tex] e osservare che, quando [tex]x\to 0[/tex], si ha che anche [tex]y\to 0[/tex] ).

[francicko]

Potrebbe andar bene anche così?
[tex]lim(2-cosx)^\left(1/x^2)[/tex][tex]=(1+(1-cosx))^\left(1/x^2)[/tex][tex]=(1+(1-cosx))^\left(1/(1-cosx))\left((1-cosx)/x^2)[/tex], ed essendo che sempre per [tex]x->0[/tex] si ha [tex]lim(1+(1-cosx))^\left(1/(1-cosx))[/tex][tex]=e[/tex] ed [tex]lim(1-cosx)/x^2=1/2[/tex] in definitiva avremo che il nostro limite di partenza sarà uguale ad [tex]e^\left(1/2)[/tex]

[Massimo Gobbino]

E' sostanzialmente la stessa cosa. Formalmente, il passaggio "e-alla" in cui si porta tutto all'esponente è quello che serve per giustificare il modo di operare su espressioni con basi ed esponenti variabili.

[francicko]

Grazie per la risposta!