Integrale indeterminato

[Noisemaker]

volevo sapere se questo integrale risulta indeterminato...

Determinare i valori di [tex]a\in \mathbb{R}[/tex] per i quali risulta convergente il seguente integrale improprio:

[tex]\displaystyle\int_{2}^{+\infty}\,\, \left[\frac{2}{(x-2)^{\frac{1}{2}}}-a\left(1-\cos\left(\frac{1}{(x-2)^{\frac{1}{4}}}\right)\right)\right]^{\frac{6}{5}}\ln^3(x-2) \,\,dx[/tex]

Consideriamo a funzione:

[tex]\displaystyle f(x)=\left[\frac{2}{(x-2)^{\frac{1}{2}}}-a\left(1-\cos\left(\frac{1}{(x-2)^{\frac{1}{4}}}\right)\right)\right]^{\frac{6}{5}}\ln^3(x-2)[/tex]

è definita per [tex]x>2;[/tex] in più si può osservare che risulta positiva per ogni valore di [tex]x\ge3,[/tex] in quanto l'argomento entro parentesi quadre è elevato alla potenza [tex]6[/tex] che in quanto pari rende la quantità certamente positiva, mentre [tex]\displaystyle\ln^3(x-2)\ge 0[/tex] per [tex]x\ge3.[/tex] L'integrale dunque presenta singolarità in entrambi gli estremi di integrazione.

Considerando il confronto asintotico, abbiamo:

[tex]x\to2^+:[/tex]

osserando che per la disuguaglianza triangolare si ha

[tex]\displaystyle\left|1-\cos\left(\frac{1}{(x-2)^{\frac{1}{4}}}\right)\right|<1+\left|\cos\left(\frac{1}{(x-2)^{\frac{1}{4}}}\right)\right|<2[/tex]

[tex]\displaystyle\left[\frac{2}{(x-2)^{\frac{1}{2}}}-a\left(1-\cos\left(\frac{1}{(x-2)^{\frac{1}{4}}}\right)\right)\right]^{\frac{6}{5}}\ln^3(x-2) <[/tex] [tex]\displaystyle\left(\frac{2}{(x-2)^{\frac{1}{2}}}-2a \right)^{\frac{6}{5}}\ln^3(x-2)\to-\infty[/tex]

dunque la funzione [tex]f(x)[/tex] ''sta sotto'' una funzione che tende a [tex]-\infty[/tex], quando [tex]x\to2^+,[/tex] e dunque a maggior ragione divergerà a [tex]-\infty,[/tex] e dunque l'integrale in questo caso diverge.

[tex]x\to+\infty:[/tex]


[tex]\displaystyle\left[\frac{2}{(x-2)^{\frac{1}{2}}}-a\left(1-\cos\left(\frac{1}{(x-2)^{\frac{1}{4}}}\right)\right)\right]^{\frac{6}{5}}\ln^3(x-2)\sim[/tex] [tex]\displaystyle\left(0- \frac{a}{2(x-2)^{\frac{1}{2}}} \right)^{\frac{6}{5}}\ln^3 x \sim[/tex] [tex]\displaystyle\left( \frac{a}{(x-2)^{\frac{1}{2}}} \right)^{\frac{6}{5}}\ln^3 x[/tex]
[tex]\displaystyle= \frac{C}{(x-2)^{\frac{3}{5}} \ln^{-3} x }\to \text{divergente a} \quad +\infty[/tex]

dunque si conclude che [tex]\forall a\in \mathbb {R}[/tex] l'integrale risulta indeterminato

Riporto il grafico per [tex]a=1[/tex] per completezza

[Massimo Gobbino]

Uhm, questo è un po' un disastro (sostanziale, non solo formale) ... sia per il problema a 2, sia per il problema all'infinito ... C'è un po' di tutto, dalle disuguaglianze al contrario, ai limiti metà per volta ... Perchè non inizi cambiando variabili in modo da portare 2 in 0 e semplificare un po' le notazioni?

[Noisemaker]

Uhm, questo è un po' un disastro (sostanziale, non solo formale) ... sia per il problema a 2, sia per il problema all'infinito ... C'è un po' di tutto, dalle disuguaglianze al contrario, ai limiti metà per volta ... Perchè non inizi cambiando variabili in modo da portare 2 in 0 e semplificare un po' le notazioni?

riformulo ...speriamo bene!!!


[tex]\mbox{Determinare i valori di }\,\,\,[/tex] [tex]\,\,\,a\in \mathbb{R}\,\,\,[/tex] [tex]\,\,\, \mbox{ per i quali risulta convergente il seguente integrale improprio:}[/tex]

[tex]\displaystyle\int_{2}^{+\infty}\,\, \left[\frac{2}{(x-2)^{\frac{1}{2}}}-a\left(1-\cos\left(\frac{1}{(x-2)^{\frac{1}{4}}}\right)\right)\right]^{\frac{6}{5}}\ln^3(x-2) \,\,dx[/tex]

operando la sostituzione [tex]x-2=t,[/tex] l' integrale diviene:

[tex]\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\,\, \left[\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}}-a\left(1-\cos\left(\frac{1}{t^{\frac{1}{4}}}\right)\right)\right]^{\frac{6}{5}}\ln^3t \,\,dt[/tex]


Consideriamo a funzione:

[tex]\displaystyle f(t)=\left[\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}}-a\left(1-\cos\left(\frac{1}{t^{\frac{1}{4}}}\right)\right)\right]^{\frac{6}{5}}\ln^3(t)[/tex]

è definita per [tex]t>0;[/tex] in più si può osservare che risulta positiva per ogni valore di [tex]t\ge1,[/tex] in quanto l'argomento entro parentesi quadre è elevato alla potenza [tex]6[/tex] che in quanto pari rende la quantità certamente positiva, mentre [tex]\displaystyle\ln^3t\ge 0[/tex] per [tex]t\ge1.[/tex] L'integrale dunque presenta singolarità in entrambi gli estremi di integrazione.

Osserando che per la disuguaglianza triangolare si ha

[tex]\displaystyle\left|\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}}-a\left(1-\cos\left(\frac{1}{t^{\frac{1}{4}}}\right)\right)\right|<\left|\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}}\right|+\left|a\cos\left(\frac{1}{t^{\frac{1}{4}}}\right)\right|=[/tex] [tex]\displaystyle\left \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}}\right +\left|a\right|\cdot\left|\cos\left(\frac{1}{t^{\frac{1}{4}}}\right)\right|[/tex]

allora, essendo [tex]|\cos t|\le1[/tex], abbiamo:

[tex]\displaystyle -1< \cos\left(\frac{1}{t^{\frac{1}{4}}}\right) <1 \quad \to \quad -1|a|< |a|\cos\left(\frac{1}{t^{\frac{1}{4}}}\right) <1|a|[/tex] [tex]\displaystyle \quad \to \quad \displaystyle \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}}- |a|<\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}}+ |a|\cos\left(\frac{1}{t^{\frac{1}{4}}}\right) <\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}}+|a|[/tex]

[tex]\displaystyle\left[\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}}-|a| \right]^{\frac{6}{5}}<\left[\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}}+|a| \cos\left(\frac{1}{t^{\frac{1}{4}}}\right) \right]^{\frac{6}{5}} < \left[\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}}+|a| \right]^{\frac{6}{5}}[/tex]

ricordando che [tex]\ln^3t<0[/tex] quando [tex]x\to 0^+,[/tex] si ha

[tex]\displaystyle\left[\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}}+|a| \right]^{\frac{6}{5}} \ln^3t<\left[\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}}+|a| \cos\left(\frac{1}{t^{\frac{1}{4}}}\right) \right]^{\frac{6}{5}} \ln^3t < \left[\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}}-|a| \right]^{\frac{6}{5}} \ln^3t[/tex]


a questo punto, gli integrali delle due funzioni esterne convergono, quando [tex]x\to0^+,[/tex] in quanto

[tex]\displaystyle \left[\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}}\pm|a| \right]^{\frac{6}{5}} \ln^3t= \left[\frac{2\pm|a|t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}} \right]^{\frac{6}{5}} \ln^3t \sim \frac{2}{t^{\frac{3}{5}}\ln^{-3}t}\to \mbox{converge}[/tex]

allora per il teorema dei carabinieri anche la funzione centrale converge, e dunque l'integrale in zero risulta convergente.

quando [tex]x\to+\infty:[/tex] si ha


[tex]\displaystyle\left[\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}}-a\left(1-\cos\left(\frac{1}{t^{\frac{1}{4}}}\right)\right)\right]^{\frac{6}{5}}\ln^3t\sim[/tex] [tex]\displaystyle\left(0- \frac{a}{2t^{\frac{1}{2}}} \right)^{\frac{6}{5}}\ln^3 t \sim[/tex] [tex]\displaystyle \frac{C}{t^{\frac{3}{5}} \ln^{-3} t }\to \text{divergente }[/tex]

dunque si conclude che [tex]\forall a\in \mathbb {R}[/tex] l'integrale risulta divergente

[Massimo Gobbino]

A 0 la situazione è migliorata. All'infinito è ancora buio profondo

[Noisemaker]

A 0 la situazione è migliorata. All'infinito è ancora buio profondo

... proprio non riesco a fare luce al buio profondo che regna nel mio cervello ....