Serie Parametrica, help!

[anotherjoe]

Salve a tutti,

devo risolvere questo esercizio:

Determinare per quali x reali converge la serie:

sum(n>=1 , +infinito) ( (1/n) * ( 3x - x^2 )^n )

Ho difficoltà a "vedere" cosa fare per iniziare, cerco anche solo suggermienti.

Molte grazie!

[Noisemaker]

Salve a tutti,

devo risolvere questo esercizio:

Determinare per quali x reali converge la serie:

[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n} ( 3x - x^2 )^n, \quad x\in \mathbb{R}[/tex]

Ho difficoltà a "vedere" cosa fare per iniziare, cerco anche solo suggermienti.

Molte grazie!

nazitutto poniamo per semplicità [tex]3x - x^2 =\lambda[/tex] e consideriamo la serie:

[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n} ( \lambda )^n[/tex]

la serie non è a termini positivi, quindi consideriamo il valore assoluto del termine generale :

[tex]\displaystyle \left|\frac{1}{n} ( \lambda )^n\right|= \frac{1}{n} ( |\lambda |)^n[/tex]

a questo punto siamo difronte al termine generale di una serie a termini positivi, alla quale possiamo applicare, ad esempio, il criterio della radice, cioè

[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n} ( |\lambda |)^n}=\lim_{n \to +\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n}} |\lambda | = |\lambda |=\begin{cases}\mbox{converge se }& |\lambda|<1 \\ \mbox{diverge se }& |\lambda|>1 \\ \mbox{criterio ineff.}& |\lambda|=1
\end{cases}[/tex]

allora avremo che la serie converge se

[tex]\displaystyle|3x - x^2 |<1,\quad \frac{ 3-\sqrt{13}}{2}<x<\frac{3-\sqrt{5}}{2} \cup[/tex] [tex]\displaystyle\frac{ 3+\sqrt{5}}{2}<x<\frac{3-\sqrt{13}}{2}[/tex]

dobbiamo considerare ora i casi in cui il criterio della radice fallisce, cioè i casi in cui [tex]|\lambda|=1,[/tex] ovvero i casi in cui

[tex]x=\frac{ 3-\sqrt{13}}{2},\quad x=\frac{3-\sqrt{5}}{2},\quad x=\frac{ 3+\sqrt{5}}{2},\quad x=\frac{3-\sqrt{13}}{2}[/tex]

[tex]\mbox{se }\quad \displaystyle x=\frac{ 3-\sqrt{13}}{2},\quad \mbox{la serie diventa:}[/tex]

[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n} \left( \frac{ 3-\sqrt{13}}{2}\right)^n[/tex]

in questo caso la serie non è a termini positivi, in quanto [tex]x=\frac{ 3-\sqrt{13}}{2}<0,[/tex] considerando il valore assoluto abbiamo a cui possimo applicare il criterio del rapporto:

[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n} \left| \frac{ 3-\sqrt{13}}{2}\right|^n=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n} \left|C\right|^n \stackrel{(Ratio)}{\Rightarrow} \lim_{n \to +\infty}\frac{\left|C\right|^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{n}{\left|C\right|^n}=\left|C\right|[/tex] [tex]<l<1\to \mbox{converge}[/tex]

[tex]\mbox{se }\quad \displaystyle x=\frac{ 3-\sqrt{5}}{2},\quad \mbox{la serie diventa:}[/tex]

[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n} \left( \frac{ 3-\sqrt{5}}{2}\right)^n[/tex]

in questo caso la serie è a termini positivi, in quanto [tex]0<\frac{ 3-\sqrt{5}}{2}<1,[/tex] : applicando il criterio del rapporto:

[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n} \left( \frac{ 3-\sqrt{5}}{2}\right)^n=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{ C ^n }{n} \stackrel{(Ratio)}{\Rightarrow} \lim_{n \to +\infty}\frac{ C ^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{n}{ C ^n}= C[/tex] [tex]<l<1\to \mbox{converge}[/tex]

[tex]\mbox{se }\quad \displaystyle x=\frac{ 3+\sqrt{5}}{2},\quad \mbox{la serie diventa:}[/tex]

[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n} \left( \frac{ 3+\sqrt{5}}{2}\right)^n[/tex]

in questo caso la serie è a termini positivi, in quanto [tex]\frac{ 3-\sqrt{5}}{2}>1,[/tex] : tuttavia in questo caso la serie non converge, in quanto il termine generale non è infinitesimo, infatti:

[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\frac{1}{n} \left( \frac{ 3+\sqrt{5}}{2}\right)^n=+\infty[/tex]

[tex]\mbox{se }\quad \displaystyle x=\frac{ 3+\sqrt{13}}{2},\quad \mbox{la serie diventa:}[/tex]

[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n} \left( \frac{ 3+\sqrt{13}}{2}\right)^n[/tex]

in questo caso la serie è a termini positivi, in quanto [tex]\frac{ 3-\sqrt{13}}{2}>1,[/tex] : tuttavia in questo caso la serie non converge, in quanto il termine generale non è infinitesimo, infatti:

[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\frac{1}{n} \left( \frac{ 3+\sqrt{13}}{2}\right)^n=+\infty[/tex]

Allora concludendo, la serie converge per [tex]\displaystyle \frac{ 3-\sqrt{13}}{2}\le x\le\frac{3-\sqrt{5}}{2} \cup[/tex] [tex]\displaystyle\frac{ 3+\sqrt{5}}{2}<x<\frac{3-\sqrt{13}}{2}[/tex]