Serie 3: esercizio 6 colonna 2

[utente91]

Serie che va da 1 a +00:

n^((1-2n^2)/n^2+3)

Faccendo E-ALLA mi viene -00 e il limite iniziale mi torna 0, mi fermo qua??? Oppure dico che converge perché è verificata la condizione necessaria, anche se come soluzione mi sembra strana - BOH

[Jonathanpizzicoli]

Io ho considerato che raccogliendo al numeratore ed al denominatore dell'esponente n^2 si vede che la successione assomiglia a n^-2 = 1/ n^2, quindi converge in quanto armonica con a=2..però non sono sicuro che i passaggi abbiano senso logico

[Noisemaker]

Serie che va da 1 a +00:

[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n^{\frac{1-2n^2}{n^2+3}}[/tex]

n^((1-2n^2)/n^2+3)

Faccendo E-ALLA mi viene -00 e il limite iniziale mi torna 0, mi fermo qua??? Oppure dico che converge perché è verificata la condizione necessaria, anche se come soluzione mi sembra strana - BOH

la serie è anzitutto a termini positivi; considerando il termine genearale si ha:


[tex]\displaystyle n^{\frac{1-2n^2}{n^2+3}}= n^{\frac{1 }{n^2+3}-\frac{ 2n^2}{n^2+3}}=\frac{ n^{\frac{1 }{n^2+3}}}{n^{\frac{ 2n^2}{n^2+3}}}\sim\frac{ n^{\frac{1 }{n^2}}}{n^{2}}=n^{\frac{1 }{n^2}-2}\sim n^{ -2}=\frac{1}{n^2} \to[/tex] [tex]\mbox{ converge}[/tex]

la serie di partenza allora converge per confronto con la serie armonica generalizzata di esponente [tex]2[/tex]

[Massimo Gobbino]

Brutale per brutale, tanto valeva dire da subito che l'esponente tende a -2, quindi si comporta come la serie di [tex]\dfrac{1}{n^2}[/tex].

[Noisemaker]

Serie che va da 1 a +00:

[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n^{\frac{1-2n^2}{n^2+3}}[/tex]

n^((1-2n^2)/n^2+3)

Faccendo E-ALLA mi viene -00 e il limite iniziale mi torna 0, mi fermo qua??? Oppure dico che converge perché è verificata la condizione necessaria, anche se come soluzione mi sembra strana - BOH

la serie è anzitutto a termini positivi; considerando il termine genearale si ha:


[tex]\displaystyle n^{\frac{1-2n^2}{n^2+3}}= n^{\frac{1 }{n^2+3}-\frac{ 2n^2}{n^2+3}}=\frac{ n^{\frac{1 }{n^2+3}}}{n^{\frac{ 2n^2}{n^2+3}}}\sim\frac{ n^{\frac{1 }{n^2}}}{n^{2}}=n^{\frac{1 }{n^2}-2}\sim n^{ -2}=\frac{1}{n^2}[/tex] [tex]\to \mbox{ converge}[/tex]

la serie di partenza allora converge per confronto con la serie armonica generalizzata di esponente [tex]2[/tex]

[tex]\displaystyle n^{\frac{1-2n^2}{n^2+3}}= e^{\frac{1-2n^2}{n^2+3}\ln n} \sim e^{-2\ln n}=\left(\frac{1}{e^{\ln n}}\right)^2=\frac{1}{n^2}[/tex] [tex]\to \mbox{ converge}[/tex]

[Massimo Gobbino]

Brutalmente siamo d'accordo. Per concludere rigorosamente, bisogna fare il confronto asintotico con [tex]\dfrac{1}{n^2}[/tex], il che conduce ad un facile limite.