L'immersione di W^(1,p) in L^p* non è compatta

[fra_ppa]

Ho provato a sistemare l'Esempio delineato per step a fine Lezione 36/19-20 o 43/20-21:

immersione_non_compatta.pdf

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Secondo me l'unica difficoltà dell'esercizio è fare correttamente la derivata della funzione composta e il cambio di variabile nell'integrale \( d \)-dimensionale.

Dovrei motivare il fatto che, nello Step 1, \( r_n \to 0 \)?

[Massimo Gobbino]

Dovrei motivare il fatto che, nello Step 1, \( r_n \to 0 \)?

Il fatto che i raggi tendano a 0 non è qualcosa che vogliamo dedurre, ma se vogliamo lo possiamo imporre (il coltello dalla parte del manico lo abbiamo noi, cioè abbiamo diritto a scegliere i raggi come ci pare). Poi posso essere d'accordo che segua banalmente dal fatto che le palle sono disgiunte e contenute in un aperto limitato. Tra l'altro, si usa da qualche parte nel corso della dimostrazione che i raggi vadano a 0? [Si usa per dire che le norme in \(L^p\) tendono a 0, ma basterebbe in realtà che fossero limitate]

Al limite uno dovrebbe motivare che esistono le palle a 2 a 2 disgiunte, ma mi sembra sostanzialmente banale (ma meglio diffidare della parola "banale", perché il diavolo è nei dettagli).