Buonasera a tutti! Sto seguendo le lezioni di AM1 e provando a svolgere qualche esercizio qua e là. Ho tentato la dimostrazione dell'esercizio 3 "Numeri Reali 2". Di seguito il testo:
Siano A e B due sottoinsiemi di R non vuoti.
(a) Definiamo A + B := {a + b : a ∈ A, b ∈ B}. Dimostrare che:
sup(A + B) = sup A + sup B.
Mi sono ridotto al caso fossero superiormente limitati.
1) Siccome:
∀a∈A,supA≥a∀b∈B,supB≥b ⟹∀a+b∈A+B,sup A + sup B≥a+b
In questo prima passaggio dovrei aver dimostrato che la somma degli estremi superiori è maggiorante di A+B
2) Per caratterizzazione di estremo superiore, sup è il minimo dei maggioranti. Suppongo allora che sup A + sup B non sia il minimo dei maggioranti di A+B, allora:
∃ ϵ>0 ∀a∈A, ∀b∈B, t.c. a+b< sup A + sup B −ϵ
ma per definizione di sup:
∀ϵ>0 ∃a∈A t.c. sup A−ϵ≤a∀ϵ>0 ∃b∈B t.c. sup B−ϵ≤b⟹ sup A + sup B −2ϵ≤a + b
siccome epsilon può essere "piccolo a piacere", la negazione di sup A + sup B minore dei maggioranti di A+B è un assurdo.
Chiedo gentilmente se a vostro parere il ragionamento possa funzionare,
Federico