Canoniche - Sono banali se ...

[maimoneg]

All'attenzione del
Chiar.mo prof. Gobbino

Desidero ritornare su un concetto ampiamente dibattuto in passato nei miei post ma lasciato un pò in sospeso.

Non sono arrendevole facilmente, così a furia di risentire le lezioni sino allo spasimo, mi sono reso conto di ciò
che non avevo afferrato (e che penso parecchi si sono trovati nella mia stessa situazione).

Pertanto scrivo qui di seguito ciò che avrei desideraro sentirmi dire durante la prima lezione sulle basi.

Se dico ad es:
prendiamo un vettore di coordinate v1 = (1, 2, 3,), non basta ammettere che tali componenti appartengano ai reali, ma occorre anche stabilire (nel caso almeno tridimendionale) una terna di vettori linearmente indipendenti (Base) dove rappresentare tale vettore.

A questo punto nasce un problema:
Come dev'essere fatta la terna di riferimento o Base?
Può essere una terna qualunque, tanto il concetto di linearità non si perde.
Cosa voglio dire?
Può essere ad esempio una terna i cui tre vettori abbiano tre angoli qualsiasi tra loro. Chissenefrega se non sono a 90°?
ALLORA, QUANDO HO FISSATO UNA TERNA DI RIFERIMENTO, QUELLA SARA' LA MIA TERNA DI PARTENZA.
Detto questo, tale base avrà la sua matrice canonica e1 = (1, 0, 0,), e2 = (0, 1, 0), ed e3 = (0, 0, 1).
ATTENZIONE: CANONICA NON VUOL DIRE ASSOLUTAMENTE ORTONORMALE.

In tale base, il vettore (1, 2, 3) si scrive:

1xe1 + 2xe2 + 3x e3 ====> (1, 2, 3)

ma anche matricialmente parlando:

v1 x Id = (1, 2, 3).

e sin quì tutto fila liscio.

Supponiamo invece che da tale base si voglia passare ad un'altra base w1 = (5,4,1), w2 = (1, -3, 0), w3 = (-2, 0, 7).
La domanda che ci si fa è la seguente:
Le componenti di w1, w2, w3, dove li rappresento?
La risposta è immediata: nella Base e1, e2, e3 di prima, dove avevo rappresentato il vettore v1.
OK. Perfetto.

Allora quando diciamo: determinare le componenti di v1 = (1,2,3) (dove 1, 2, 3, sono quelle rispetto alla canonica della Base di partenza),
rispetto alla base w1, w2, w3 (di componenti date), usaremo la combinazione lineare e fare un sistemino, oppure usare la matrice del cambiamento di base opportunamente scritta.

La sorpresa dove nasce?

Nasce per il fatto che la nuova Base w1, w2, w3 possiede una sua "CANONICA INTRINSECA".

Non sto quì a fare tutti i conti, ma se non si sta attenti si crea una gran confusione quando si dice ad es:

Questo prodotto mi trasforma le componenti della base strana in quelle rispetto alla canonica. Oppure
Questo prodotto trasforma le componenti dalla canonica in se stessa. Oppure
Questo prodotto trasforma le componenti dalla canonica alla base strana.

Solitamente era in questi prodotti che non capivo più nulla.

Allora mi sono detto:
Le canoniche hanno un difetto (Del quale si perde visibilità nelle lezioni se non viene esplicitamente detto):
Quello di scriversi tutte allo stesso modo.

Che sia la canonica di partenza o una delle infinite canoniche delle basi di arrivo, si scrivono tutte allo stesso modo.

Una volta che ho chiarito dentro di me che vi sono: Canoniche di partenza e canoniche intrinseche di arrivo,
mi si è presentata tutta la materia nella sua semplicità.

Daltr'onde, quando moltiplico una matrice M per il vettore (1,0,0), sia la matrice M che il vettore, sono pensati in una stessa base.

Non ha senso (Anche se si ottiene lo stesso risultato) moltiplicare una matrice A che contenga come colonne i wì per (1,0, 0) della base di partenza, mentre il senso ce l'ha se moltiplico A per (1, 0, 0) della rispettiva base w1, w2, w3.

Spero di non avere elencato ovvie stupidaggini e che altri non abbiano avuto le mie difficoltà.

Voglia pertanto gradire
Cordialissimi saluti e
BUONE FESTE

Giuseppe Maimone