AM 2, anno 2015-2016: Lezione 97

[Stark]

Non so se non sto capendo io o se effettivamente c'è un errore circa al minuto 25:45 stimiamo $|a_{n-k}| \leq \hat{B}$ e da un'altra stima precedente si ha $|B_k-B_{\infty}| \leq \frac{1}{2(\hat{B}+1)} \varepsilon$. Dunque la sommatoria "più a sinistra" si dovrebbe stimare come
$$\sum_{k=0}^{m_0} |a_{n-k}| |B_k-B_{\infty}| \leq \sum_{k=0}^{m_0} \frac{\hat{B}}{2(\hat{B}+1)} \varepsilon$$
Ma nel video, sempre se non sbaglio io, si sta omettendo che c'è ancora una sommatoria; dovrebbe rimanere un termine del tipo $m_0+1$ dato da
$$\sum_{k=0}^{m_0} \frac{\hat{B}}{2(\hat{B}+1)} \varepsilon=\frac{\hat{B}}{2(\hat{B}+1)} \varepsilon \sum_{k=0}^{m_0} 1=\frac{\hat{B}}{2(\hat{B}+1)}(m_0+1)\varepsilon$$
Comunque, se non ho sbagliato, non è troppo rilevante perché il ragionamento funziona comunque grazie all'arbitrarietà di $\varepsilon>0$, ma credo si stesse cercando di ottenere un $\varepsilon$ "pulito" come stima dall'alto e quindi a questo punto si potrebbe usare

$|B_k-B_{\infty}| \leq \dfrac{1}{2(\hat{B}+1)(m_0+1)} \varepsilon$.

Ha senso o sto sbagliando? Grazie!

[Massimo Gobbino]

Uhm, grazie, la segnalazione dell'errore mi sembra corretta. La seconda formula del punto 4 non è corretta perché si tratta della stima sul termine generico e non sulla sommatoria, dunque andrebbe moltiplicata per $m_0+1$.

Fortunatamente la dimostrazione si corregge, ma per farlo non si può andare ad aggiungere un $m_0+1$ nel denominatore dell'ultima formula di pagina 2, perché quella disuguaglianza deve essere vera per ogni $k\geq m_0$ e non si può sperare che una disuguaglianza dipendente da $m_0$ valga da $m_0$ in poi (in quel momento stiamo definendo $m_0$).

Il modo corretto di procedere mi sembra quello di mettere $m_0+1$ al denominatore nella seconda riga di pagina 3, quando si sta definendo $\ell_0$. In quel momento $m_0$ è già stato fissato dal punto precedente e dunque si può usare senza problemi.

Sono dettagli delicati che fanno la differenza.

[Stark]

Sono d'accordo, ho commesso un typo: intendevo

$|a_i| \leq \dfrac{1}{2(\hat{B}+1)(m_0+1)} \varepsilon$.

Prego, grazie a lei per il materiale offerto e per la gentilezza di rispondere sul forum anche per cose non relativamente recenti!

[Stark]

Salve professore, scusi se riprendo questa discussione dopo molto tempo ma ristudiando questa dimostrazione mi è venuto un dubbio riguardo a questa sua precisazione

perché quella disuguaglianza deve essere vera per ogni $k \geq m_0$ e non si può sperare che una disuguaglianza dipendente da $m_0$ valga da $m_0$ in poi (in quel momento stiamo definendo $m_0$).

Cosa intende? Intende forse che, essendo una disuguaglianza un predicato (che può essere vero o falso a seconda dei valori che si assegnano alla/e variabile/i che compaiono all'interno della stessa) non ha senso dal punto di vista logico che una disuguaglianza dipendente da $m_0$ valga per ogni $k \geq m_0$ perché quando si richiede che valga per ogni $k \geq m_0$ si ha che $m_0$ viene fissato e quindi si ha simultaneamente un oggetto in cui $m_0$ varia (la disuguaglianza stessa) e uno in cui $m_0$ è fissato (la disuguaglianza che si richiede essere vera per ogni $k \geq m_0$)?
Ha senso o sono completamente fuori strada? Grazie.