Sviluppi di Taylor su integrali impropri

[Lorenzo2468]

Buongiorno, mi sono ritrovato a svolgere alcuni integrali impropri sui quali sarebbe molto utile usare la formula di taylor, ne scrivo alcuni:

\(\displaystyle\iint \frac{\arctan^2(xy)}{x^4 + y^4} dxdy\)

\(\displaystyle\iint \frac{e^{x^2} - \cos(xy)}{x^2 + y^2} dxdy\)

\(\displaystyle\iint \frac{\log(1+xy)}{x^2 + y^2} dxdy\)

L’esercizio richiede di determinare se l’integrale converge o diverge sull’insieme B, dove B è il quarto di cerchio sul primo quadrante.
La mia domanda è la seguente: Posso usare gli sviluppi di taylor in questi casi? In caso affermativo, come gestisco l’o piccolo?
Cercando di rispondermi da solo ho pensato che è lecito utilizzarli soltanto in un intorno C (palla) di raggio ε centrato in (0,0) e che quindi possono essermi utile solamente in C \(\subseteq\) B. Presa per buona quest’ipotesi, ho pensato ad un altra considerazione da fare: l’integrale su B è maggiore uguale dell’integrale su C dato che C \(\subseteq\) B. Questo potrebbe farmi pensare che, ipotizzando l’integrale su C convergente, non posso stabilire nulla del comportamento dell’integrale su B.
In realtà posso spezzare l’integrale su B in due integrali: Uno sul cerchietto di raggio ε e uno sulla rimanente corona circolare che indico con D

\(\displaystyle\iint_B dxdy\ = \iint_C dxdy + \iint_D dxdy\)

Da ciò ne dedurrei che l’integrale assume il comportamento che assume su C anche in tutto l’insieme B, dato che in D la funzione è limitata e il suo integrale è sicuramente un numero.
In generale, se tutto ciò che ho scritto è corretto, fino a che ordine posso sviluppare i polinomi ? ( Pensandoci bene, forse posso svilupparli solo fino al grado del denominatore )

[ghisi]

Hai ragione a pensare che gli sviluppi di Taylor negli integrali impropri possono creare problemi per la gestione degli o-piccoli (integrare un o-piccolo non è mai il massimo). Il modo (facile) per uscirne in una variabile è utilizzare il confronto asintotico. In più variabili però i limiti non sono sempre facili da trattare. Quello che si può fare in laternativa è utilizzare lo sviluppo con il resto di Lagrange e poi fare stime, o (equivalentemente e) più semplicemente quello che si fa spesso è di procedere direttamente con stime. Giusto per fare un esempio: nel caso del logaritmo si può usare che esiste una costante c > 0 tale che in \([0,1]\) si ha
\(cz\leq \log (1+z) \leq z\).

La tua idea di dividere il dominio in due parti usa senza dirlo la stessa cosa: dato che \(\log(1+z) = z + o(z)\) allora se prendo \(C\) abbastanza piccolo vale la stima scritta sopra ad esempio con \(c = 1/2\).

L'ultima domanda non la capisco: puoi fare gli sviluppi all'ordine che preferisci, ma quelli che sono utili sono solo "i termini di ordine più basso" presenti nello sviluppo, tutti gli altri creano solo confusione (ad esempio se \(B\) è la palla di centro l'origine
\(\int_B \frac{x^2 - x^4}{x^8+ y^8}\) diverge ma se lo spezzi in due integrali uno diventa \(+\infty\) e l'altro \(-\infty\) ).

[Lorenzo2468]

Buongiorno, in primis ringrazio per la risposta.
Mi sono convinto, ripercorrendo alcuni esercizi che usare il polinomio di taylor crea spesso problemi nello studio degli integrali impropri. La loro maggiore utilità in questi casi è forse quella di riuscire a fare un'analisi brutale "rapida".
Ciò che intendevo con l'ultima domanda in realtà riguardava la gestione degli o piccolo: se sviluppassi fino allo stesso grado del denominatore, l'o piccolo mi si semplificherebbe:

\(\lim_{x\to 0}{\frac{o(f(x))}{f(x)}} = 0\)

( x e 0 sono vettori)

Infatti anche se le funzioni fossero polinomi diversi ma di pari grado, potrei sfruttare l'osservazione chiave vista alla lezione 19 del corso 2019/2020.

[ghisi]

La loro maggiore utilità in questi casi è forse quella di riuscire a fare un'analisi brutale "rapida".

Questo sicuramente.

Ciò che intendevo con l'ultima domanda in realtà riguardava la gestione degli o piccolo: se sviluppassi fino allo stesso grado del denominatore, l'o piccolo mi si semplificherebbe:

\(\lim_{x\to 0}{\frac{o(f(x))}{f(x)}} = 0\)

E' un altro modo per dire che con lo sviluppo a un tale ordine ottieni un rapporto fra polinomi + una funzione limitata in un intorno dell'origine (che quindi ha integrale finito), dunque corretto. A volte però così ti tieni al numeratore termini inutili che poi devi gestire (ad esempio se hai \(\frac{\sin x}{x^4 + y^4}\) quello che ti serve brutalmente è che vicino all'origine \(\sin x\) si comporta come \(x\) e non lo sviluppo di ordine 4).
Occhio poi in questi ragionamenti con i gradi dei polinomi ai casi in cui al denominatore hai termini di grado diverso: devi identificare correttamente l'andamento e perchè (i casi che porti come esempio hanno al denominatore polinomi omogenei)

[Lorenzo2468]

Perfetto, la risposta è chiarissima.
Credo comunque che in fin dei conti sia più comodo usare le stime.
Per l'osservazione riguardante i polinomi non omogenei al denominatore credo che sia facilmente ovviabile, pareggiando gli esponenti con una sostituzione.
La ringrazio molto per le sue risposte professoressa.

[ghisi]

Per l'osservazione riguardante i polinomi non omogenei al denominatore credo che sia facilmente ovviabile, pareggiando gli esponenti con una sostituzione.

Ovviamente si.