Convergenza di integrale improprio

[Federico.M]

Salve, devo dimostrare la convergenza del seguente integrale improprio:

\(\displaystyle\iint_B\frac{1}{x^3+y^3}\,dx\,dy\)

dove l'insieme dato è

\(B=\bigl\{(x,y)\in R^2\colon x^2+y^2\ge 1,\,x\ge 0,\,y\ge 0\bigr\}\)

Io ho provato a risolvere l'esercizio nel seguente modo:
passando direttamente a coordinate polari, otteniamo che

\(\displaystyle\iint_B\frac{1}{x^3+y^3}\,dx\,dy=\lim_{a\to +\infty}\int_1^a\frac{1}{\rho^2}\,d\rho\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\cos^3(\theta)+\sin^3(\theta)}\,d\theta\)

Essendo ora

\(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\cos^3(\theta)+\sin^3(\theta)}\,d\theta\)

un numero, in quanto integrale proprio di funzione continua su intervallo limitato, ed essendo

\(\displaystyle\lim_{a\to +\infty}\int_1^a\frac{1}{\rho^2}\,d\rho=\lim_{a\to +\infty}\Bigl(1-\frac{1}{a}\Bigr)=1\)

segue che l'integrale dato converge.
A questo punto, volevo sapere se le considerazioni fatte durante lo svolgimento sono corrette e sufficienti per dimostrare quanto richiesto, senza fare ulteriori osservazioni sull'insieme \(B\) e senza maggiorazioni ( minorazioni ) della funzione integranda. Ogni altra strategia risolutiva che io abbia adottato, ha portato ad un niente di fatto.
Grazie in anticipo per eventuali correzioni, suggerimenti e indicazioni.

[ghisi]

Si, è corretto.

[Federico.M]

Grazie professoressa Ghisi..