Terzo scritto d'esame 2018

[gio]

Buonasera, ho un altro dubbio sullo studio di massimo e minimo.
Come dimostrare che \(|x^3y|<=2x^4+y^4\) per ogni x e y in R^2? Ho pensato di dividere da entrambi i lati per il membro di destra, ma non riesco a dimostrare che la funzione ammette massimo, visto che il limite a più infinito non esiste. Un approccio più semplice? Non riesco nemmeno a ricondurmi a una forma quadratica...

[ghisi]

Sorry per il ritardo.... E' corretto dividere. La funzione g che ottieni dividendo è omogenea di grado 0 (cioè costante sulle rette per l'origine), quindi per trovare inf e sup ti puoi limitare a studiare la funzione g su una qualunque curva che circonda l'origine (ad esempio \(2x^4 + y^4 = 1\)). Su questa curva che è un compatto la funzione g ammette massimo (che puoi trovare ad esempio con i moltiplicatori di Lagrange).