Esercizio 3 Gagliardo

[m.fava3]

Salve a tutti, ho problemi a risolvere l'esercizio 3 (e quindi i seguenti) riguardo la disuguaglianza di Gagliardo (pagina 104 del file di esercizi).
Ho provato ad imitare la dimostrazione della disuguaglianza, o a sfruttare in qualche modo le tracce, ma senza risultati, quindi chiederei qualche suggerimento/idea per la soluzione a chiunque sia riuscito.

Grazie mille per l'attenzione.

[Massimo Gobbino]

Intanto sposto nella sezione giusta, così aumenta la visibilità del post.

[Massimo Gobbino]

[+] Piccolo_aiutino

Come si mostra in poche righe che gli esponenti nelle immersioni di Sobolev possono essere solo quelli giusti?

[+] Grande_aiutino

Se una disuguaglianza deve valere per \(a(x,y)\), allora deve valere anche per \(a(\lambda x,y)\), \(a(x,\lambda y)\), \(a(\lambda x,\lambda y)\). Questo vincola molto la scelta degli esponenti possibili.

Trovati gli esponenti giusti, di solito la dimostrazione in dimensione bassa viene quasi da sola.