Dim. Limite e disuguaglianze

[DavidMath]

Sia \(a>0\) Provare che

\(\lim_{n\to +\infty} n \left( \sqrt[n]{a}-1 \right) =\ln a.\)

Non posso utilizzare nè Bernoulli-Hopital nè limiti notevoli per la risoluzione dell'esercizio..

Dimostra le due disuguaglianze tramite il calcolo differenziale o altro.
\(\forall x> 0\) vale la disuguaglianza \(\frac {x}{x + 2} < \ln (x + 1) <x\)

e
\(\forall x> 0\) vale la disuguaglianza \(\frac {x}{x + 1} <\frac {2x}{x + 2} <\ln (x + 1)\)

La seconda si ottiene dalla prima derivando.

Ho provato a svolgere il limite usando il teorema dei carabinieri
\(an= n \left( \sqrt[n]{a}-1 \right) =\ln a.\)

\(\lim_{x\to +\infty} \frac{x}{x+1} = +\infty.\)
\(\lim_{x\to +\infty} \frac{2x}{x+2} = +\infty.\) di conseguenza
\(\lim_{x\to +\infty} \ln(x+1) = +\infty.\)

Va bene o bisogna usare un altro procedimento per dimostrare il limite? Grazie

[GIMUSI]

allego un possibile svolgimento dei due esercizi

se vuoi provare prima da solo:

[+] HINT limite

il limite con l'E-ALLA diventa banale

[+] HINT diseguaglianze

per le diseguaglianze bastano semplici studi di funzione; ne ho svolto solo una, l'altra è analoga e si può risolvere in modo analogo

PS credo che le diseguaglianze vadano negli studi di funzione; in generale sarebbe opportuno postare un esercizio per ciascun thread soprattutto se relativi a sezioni diverse

[DavidMath]

Okok ricevuto grazie per la dritta!

[Massimo Gobbino]

Non posso utilizzare nè Bernoulli-Hopital nè limiti notevoli per la risoluzione dell'esercizio..

Mah, questo esercizio non lo capisco proprio. Cosa vuol dire che non si possono usare limiti notevoli? Visto che la risposta è \(\log a\), mi pare scontato che il numero \(e\) dovrà entrare in qualche modo ... e quel numero è definito proprio come limite notevole.

Certo una soluzione potrebbe passare per la disuguaglianza

\(1+(\log a)\cdot x \leq a^x \leq 1+(\log a)\cdot x+(a\log^2 a)\cdot x^2\quad\quad\forall x\in(0,1)\)

A quel punto basta sostituire x=1/n, quindi concludere con i carabinieri.

Tuttavia ... come si dimostra quella disuguaglianza? Ad esempio con Taylor-Lagrange, il che richiede di calcolare le derivate prima e seconda di \(a^x\), e le formule per derivare gli esponenziali sono equivalenti al limite notevole con gli esponenziali ... dunque i limiti notevoli sono solo nascosti sotto il tappeto.