Estensione del teorema di Abel

[C_Paradise]

Ciao a tutti! Stavo provando a risolvere il seguente esercizio. Sia $a_n$ una successione di numeri reali tale che

$\displaystyle\limsup_{n\to+\infty}|a_n|^{1/n}=1$ e che $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n=+\infty.$

Dimostrare che

$\displaystyle\lim_{x\to1^{-}}\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=+\infty.$

Purtroppo non riesco a risolverlo, ho cercato di usare il lemma di sommazione di Abel, ma non sono arrivato da nessuna parte, se qualcuno l'ha fatto o ha qualche idea da scambiare è il benvenuto

[C_Paradise]

Sono arrivato alla disuguaglianza $S_{\infty}(x) \ge S_n(x)-A_nx^{n+1}+Mx^{n+1}$ valida $\forall n \ge n_0$ dipendente da $M$ e dove si è posto $A_n=\sum_{k=0}^{n}a_k$. Controllando la differenza tra $S_n(x)-A_nx^{n+1}$ e passando al $\liminf$ forse si riesce a fare..

[Massimo Gobbino]

La stima che hai scritto non mi torna molto, dovresti esplicitare maggiormente i dettagli.

Mi pare comunque che basti ragionare come nel passo 3 della dimostrazione di Abel classico (vedi lezione 95). Si tratta sostanzialmente di fissare un M arbitrario (grande a piacere) e scrivere l'uguaglianza per la differenza delle somme parziali con indice m variabile e indice n uguale ad un indice $n_0$ fisso dopo il quale tutti gli $A_k$ valgono più di M.

A quel punto con gli stessi passaggi fatti a lezione si ottiene la stima (ho sacrificato il termine positivo $A_mx^{m+1}$ e stimato gli $A_k$ nella sommatoria finale con M)

$S_m(x)-S_{n_0}(x)\geq -A_{n_0} x^{n_0+1}+M(1-x)\displaystyle\sum_{k=n_0+1}^m x^k.$

Ora basta, nell'ordine,

• calcolare la sommatoria,
• mandare m all'infinito,
• fare il liminf per $x\to 1^-$,
• esplicitare $S_{n_0}(1)-A_{n_0}$,
• ricordare l'arbitrarietà di M.

[C_Paradise]

Grazie mille per la rapida risposta Il mio conto è sostanzialmente quello che ha fatto lei, ho regalato il termine $A_{m}x^{m+1}$ e ho scritto
$\displaystyle\sum_{k=n_0+1}^{m}x^k=\frac{x^{m+1}-x^{n_0+1}}{x-1}$ da cui $\displaystyle S_m(x) \ge S_{n_0}(x)-A_{n_0}x^{n_0+1}+M(x^{n_0+1}-x^{m})$
e mandando $m \to +\infty$ ottengo $\displaystyle S_{\infty}(x) \ge S_{n_0}(x)-A_{n_0}x^{n_0+1}+Mx^{n_0+1}$ ma $S_{n_0}(1)=A_{n_0}$ da cui $\displaystyle \liminf_{x \to 1^{-}}S_{\infty}(x) \ge M$ e come ha detto lei si chiude per l'arbitrarietà di $M$