Forme differenziali complesse - Definizioni

[C_Paradise]

Ciao a tutti! Sto studiando i primi concetti di analisi complessa dal Cartan e sto avendo qualche difficoltà con le forme differenziali. Il mio dubbio è qual è la definizione di forma differenziale complessa lineare. Una forma reale definita su \(\Omega \subset \mathbb{R}^2\) è un'applicazione \(\omega \colon \Omega \to \hom_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}^2,\mathbb{R})\) per analogia ho pensato che una forma complessa definita su \(D \subset \mathbb{C}\) sarà del tipo \(\omega \colon D \to \hom_{\mathbb{R}}(\mathbb{C},\mathbb{C})\)? Ho incontrato poi varie volte scritture del tipo \(\omega=f(z)dz\) e ho pensato che fossero delle forme "speciali" in quanto \(\omega(D) \subset \hom_{\mathbb{C}}(\mathbb{C},\mathbb{C}) \subset \hom_{\mathbb{R}}(\mathbb{C},\mathbb{C})\).. Il tutto per giustificare le scritture \(dz=dx+idy\), insomma come si aggiustano le definizioni? Grazie a chiunque risponderà