Minimum problems 2

[Carmine]

Scusate se sono sempre qui a chiedere chiarimenti, comunque tentando di fare i problemi 2 e 3 a pagina 26 ho riscontrato delle perplessità, che forse potrebbero nascondere degli "errori di stampa".

- Esercizio 2. Se non ho fatto male i conti, l'equazione differenziale di Eulero da risolvere è questa:

[tex]\ddot{u}(1+u^2) + u \dot{u}^2 = 0[/tex]

E' davvero lei? Io sarò sicuramente poco ferrato con le ODE nonlineari, ma anche la soluzione che sputa fuori Wolfram Alpha non è così simpatica...

- Esercizio 3. Se non ho sbagliato i conti, l'Eulero differenziale è:

[tex]12 \dot{u}^2 \ddot{u}=1[/tex]

che dà come soluzione:

[tex]u(x)= \left( \frac{1}{4} x + k \right)^{4/3} + h[/tex]

con [tex]k,h \in \mathbb{R}[/tex].

Andando però a imporre le condizioni al bordo:
- I conti sono poco agevoli;
- Anche svolgendoli, ci sono [tex]\alpha[/tex] per cui non esiste la soluzione.

Attendo chiarimenti

[Massimo Gobbino]

Ottimo che ci sia qualcuno qui a chiedere chiarimenti ... vuol dire che c'è qualcuno che sta facendo gli esercizi ... almeno uno ...

Detto questo, non mi pare che questa volta ci siano evidenti errori di stampa, ma ovviamente potrei sbagliarmi. Ad esempio nel numero 3 mi pare strano che possa non esserci soluzione, visto che con il senno di poi il metodo diretto la darebbe banalmente. Quindi, visto che c'è, deve saltare fuori anche dal metodo indiretto.

Vorrei però non essere sempre solo io a rispondere, quindi se c'è qualcuno in linea, che batta un colpo!

Per ora dico una sola parola ... Erdmann (e poi un minimo di familiarità con le ODE nonlineari di ordine 1, ma nulla che vada oltre analisi 1 o 2).

[Massimo Gobbino]

Nel numero 4 invece c'è davvero qualcosa che non va ... così il (4a) mi sembra infattibile ed il (4b) banalmente falso se u(0)<0 e u(1)>0. Indagherò ...

[Massimo Gobbino]

Ho sostituito il 4 con qualcosa di (spero) corretto e fattibile.

[Carmine]

Nel caso del 2, l'Erdmann viene:

[tex](1+u^2)\dot{u}^2=k[/tex]

Mi sa che devo ripassarmi le ODE nonlineari, perchè non riesco a risolverla velocemente...

Nel caso del 3:

[tex]3\dot{u}^4+u=k[/tex]

Idem come sopra

EDIT: la seconda l'ho risolta, in effetti è facile... dovrebbe essere:

[tex]u(x)=\alpha(x+\beta)^{4/3}[/tex]

o qualcosa del genere, con [tex]\alpha=(3/4)^{4/3}[/tex] e [tex]\beta[/tex] dipendente da [tex]\alpha[/tex] e [tex]k[/tex]. Sono quasi sicuro che sto sbagliando qualcosa, però...

[Massimo Gobbino]

Ricavato u' diventano equazioni autonome che si risolvono. Però, in realtà non hai tutti i torti ... quando uno va a ricavare u' deve un po' discutere i segni, e la cosa potrebbe essere seccante. Quando ho tempo 2 e 3 me li riguardo con calma. Trovare esercizi nonlineari fattibili sul metodo indiretto è sempre stata una pena!

[Carmine]

Ok, li lascio in standby anche io, allora... passo al metodo diretto

[Massimo Gobbino]

In realtà a guardarli bene mi tornano abbastanza.

Ad esempio per il numero 2 è utile dimostrare preliminarmente un lemma che dice che tutte le soluzioni sono monotone (perché? ha davvero senso fare su e giù?). A quel punto u' si ricava univocamente dalla forma Erdmann e l'equazione si può integrare. Volendo non fare conti, non è necessario calcolare esplicitamente la primitiva della radice che viene fuori, basta lasciarla indicata e comunque si dimostra che il sistema risultante permette di determinare univocamente le due costanti coinvolte.

L'eventuale concavità/convessità della soluzione segue, sempre senza fare i conti, dall'esame dell'equazione di Eulero scritta come equazione del second'ordine.

Certo, poi ci sarebbe da dimostrare che la soluzione trovata è effettivamente un minimo. Mancando la convessità, temo che bisogni invocare qualcosa di successivo .

[Carmine]

Ok, sul 2 mi torna, il lemma è anche immediato (da se fa su e giù, da qualche parte dovrà pur essere [tex]\dot{u}=0[/tex]). Sull'analisi dell'Eulero differenziale in forma classica per la concavità, c'avevo già pensato... però per ora ero interessato all'esistenza e unicità, possibilmente saltando i conti. Mi torna tutto, la seconda risposta dovrebbe essere [tex]\alpha \in [0,1][/tex].

[Massimo Gobbino]

Anche il 3 mi sembra tranquillo. Dalla stretta convessità della Lagrangiana segue che, se Eulero ha soluzione, la soluzione è unica ed è punto di minimo. Allora ci basta esibire una soluzione, senza sottilizzare troppo su come l'abbiamo trovata . A occhio deve venire qualcosa del tipo

[tex]u(x)=c(x+k)^{4/3}+h[/tex]

dove c è una costante ben determinata (con un po' di radici), mentre k ed h sono costanti arbitrarie (mi pare abbastanza ovvio dal fatto che la Eulero-Erdmann è invariante per traslazioni orizzontali e verticali).

Ora non dovrebbe essere troppo difficile verificare che la soluzione con dati nulli è quella simmetrica con h=0 e k=-1/2. Poi con un minimo di analisi 1 dovrebbe seguire che h e k permettono di fittare tutte le possibili DBC. Infine monotonia e regolarità dipendono dallo stare k nell'intervallo [0,1] oppure no. Però non ho scritto nulla, quindi potrei sbagliarmi ...

Nota: su questa questione della regolarità nel caso di quarta potenza nella derivata si tornerà violentemente in un esercizio successivo (attualmente il terzo della scheda finale da riorganizzare).

[Carmine]

Tutto mi torna, tranne che [tex]h[/tex] non è [tex]0[/tex] nella soluzione particolare, ma:

[tex]h=-c\left( \frac{1}{2} \right)^{4/3}[/tex]

e che monotonia e regolarità si hanno se e solo se [tex](-k) \not\in [0,1][/tex] (e non [tex]k[/tex]).

Per il resto, dovevo avere un po' più di coraggio con i conti di Analisi 1 e 2

[Massimo Gobbino]

Sì sì, giusto. Magari in una futura versione correggo un coefficiente in maniera da evitare il c seccante. Basta mettere 3u invece di u, a occhio.

[Carmine]

Per la serie "ODE che passione", nell'esercizio 4 di questa scheda è così immediata l'esistenza di una soluzione per ogni [tex]\alpha \in \mathbb{R}[/tex]? Il resto l'ho fatto, ma sull'esistenza ci sto sbattendo inutilmente da ore. C'è qualcosa di evidente che non sto notando? L'Eulero sembra ingestibile, e nemmeno il metodo diretto sembra applicabile...

[Massimo Gobbino]

Giusto, l'esistenza non è per nulla ovvia, per colpa della mancata coercività sulle "derivate molto negative". Anzi, in questo momento mi viene il dubbio che sia addirittura falsa !

L'esercizio si rivela più interessante del previsto ... certamente la parte "esistenza" è da rivedere e spostare in sezioni più avanzate.