Test 20 - Numeri reali 1 (Es. >= 2014)

[GIMUSI]

allego le soluzioni con svolgimento del Test 20 - Numeri reali 1

credo sia una versione migliorabile in molti punti

[Max]

Salve a tutti. Grazie GIMUSI per aver condiviso le risposte. Purtroppo non mi sono molto chiari un paio di punti (probabilmente più che banali), c'è qualcuno che potrebbe darmi una mano?
1)L'implicazione nella soluzione dell' es 1a
2)Nella risoluzione del primo punto dell'esercizio 2 da quale assioma si ricava che x=y-->x+z=y+z?
grazie

[GIMUSI]

...c'è qualcuno che potrebbe darmi una mano?
1)L'implicazione nella soluzione dell' es 1a
...

il ragionamento dovrebbe esser questo:

se 1=0 allora x*0=x*1=x*(1+0)

per la "D" x*(1+0)=x*1+x*0

pertanto x*0 = x*1 + x*0

e quindi dalla "S1": x*1=0

ma allora per la "P1" x=0

che ne dici?

...
2)Nella risoluzione del primo punto dell'esercizio 2 da quale assioma si ricava che x=y-->x+z=y+z?
...

mi pare immediato che se x=y allora x+z=y+z...almeno credo eh

[Max]

Ciao, grazie della risposta. Nella prima il problema sorgeva nel passagio che qui giustifichi con s1, che in effetti mi pare vada bene, ma solo a patto che si dimostri l'unicità dell'elemento neutro (fattibilissimo), giusto? Per la seconda: certo, è molto intuitiva come proposizione, ma non è esplicitamente presente negli assiomi, quindi andrebbe dimostrata. La fregatura è che mi pare si possa fare solo tirando in ballo gli assiomi di ordinamento, ad esempio con qualcosa del genere x=y-->(x=<y)AND(y=<x)-->(x+z=<y+z)AND(y+z=<x+z)-->x+z=y+z, quindi non dipenderebbe solo dalla def di campo. Se davvero così fosse cosa si può dire su un generico campo per cui non valgano questi assiomi? Che non vale una proprietà tanto intuitiva? Se ho detto bestialità correggimi

[Massimo Gobbino]

No-no, il fatto che x=y implica x+z=y+z è un assioma che sta "al di sotto" della definizione di campo.

Lo stesso problema c'è nel momento in cui uno definisce una funzione, e vorrebbe tanto che x=y implichi che f(x)=f(y) (nel campo è la stessa cosa visto che, non dimentichiamolo, la somma è formalmente una funzione).

Il problema si sposta poi ancora più sotto, cioè in teoria degli insiemi, dove uno vorrebbe che se x appartiene ad un insieme A e y=x, allora anche y appartiene ad A (e ancora una volta è la stessa cosa visto che le funzioni sono formalmente insiemi).

Infine, il problema scende ancora, e siamo praticamente agli inferi, nel momento in cui uno si chiede: "ma cosa vuol dire x=y". In effetti, non c'è ragione di includere il simbolo di = nella teoria degli insiemi, dove il simbolo di appartenenza basta e si può definire l'uguale a partire dall'appartenenza (volendo puoi dare uno sguardo alle prime righe qui), dove sostanzialmente le proprietà che uno vorrebbe diventano la definizione del simbolo di uguale.

Tornando in superficie, gli assiomi di campo stanno quindi "ad un livello superiore", e presuppongono noti gli assiomi sugli insiemi e le funzioni, che servono anche solo per dar senso a quello che si sta scrivendo.

[Max]

Capito, grazie. Buona giornata.