Limiti 3 (Eserciziario >= 2014)

[Massimo Gobbino]

Qui forse un giorno si discuterà di limiti 3

[Clara]

Posto le mie soluzioni di quasi tutta la pagina di limiti 3.

1
a<4 lim=0
a=4 lim=5
a>4 lim=+inf


a>4 lim =0
a=4 lim=1
a<4 lim=+inf

a=1 lim=-3
a>1 lim=-inf
a<1 lim=+inf


2
1/5
1/5
1


3a
0
+inf
+inf
1


5
4
4
4
+inf


6
-1<=a<=1 lim=0
a>1 lim=a
a<1 lim non esiste

-4<a<=4 lim=4
a<=-4 lim non esiste
a>4 lim=a

+inf

-2<=a<=2 lim=2
a>2 lim=4/a
a<-2 lim non esiste


7
0
0

[Stud B]

Ne ho fatti alcuni (più o meno random) e mi sembra che i risultati tornino...

[Clara]

[federica.diserafino]

salve a tutti,
scusate dove posso trovare l'eserciziario al quale vi riferite? è online?

[GIMUSI]

salve a tutti,
scusate dove posso trovare l'eserciziario al quale vi riferite? è online?

qui...nel mitico archivio didattico del prof

http://users.dma.unipi.it/gobbino/Home_ ... ttico.html

[federica.diserafino]

grazie mille!

[GIMUSI]

Posto le mie soluzioni di quasi tutta la pagina di limiti 3.

...

posto le mie soluzioni con svolgimento del test

mi pare che tornino con le tue tranne il 7

[EDIT]
per il n.4 è necessario tenere conto di quanto segnalato due post qui sotto da Mentina (la sola limitatezza è condizione necessaria ma non sufficiente, si deve mostrare anche la monotonia della successione)

[cef18]

scusate ,ma non capisco il procedimento che ha fatto gimusi nel (3a) A.

Il confronto a due non vale solamente quando a) le successione piu' piccola ->+inf
b) la succ piu' grande tente a -inf ?

non si dovrebbe usare carabinieri?

[cef18]

come non detto la successione e' magiore di 1/(n^2)..

[Mentina]

Nel punto 4. delle risposte di GIMUSI secondo me manca qualcosa.

[+] missing element

Infatti si dimostra solo che la successione è limitata. Per dimostrare che il limite esiste ed è reale bisogna controllare due cose:
1. la successione è monotona, così si può applicare il teorema delle successioni monotone

2. la successione è limitata dove serve, che esclude il caso della divergenza e quindi prova che il limite esiste ed è reale

Per il punto 1., si dimostra che la successione è strettamente decrescente:

\(a_{n} > a_{n+1}\\
\impliedby
\frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} + ... + \frac{1}{2n} > \frac{1}{n+1} + ... + \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2}\\
\impliedby
\frac{1}{n} > \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2(n+1)}\\
\impliedby
\frac{1}{2n} + \frac{1}{2n} > \frac{1}{2(n+1/2)} + \frac{1}{2(n+1)}\)

Il punto 2. è nel pdf di GIMUSI.

Dal 5. in poi devo ancora farli.

[GIMUSI]

hai perfettamente ragione...è necessario mostrare anche questa importante condizione