Equazioni trigonometriche - AIUTO [SOLVED]

[mateusz]

Salve a tutti, sono nuovo in questo forum, non seguo direttamente le lezioni del Prof. Gobbino ma ho usufruito delle sue videolezioni sulla propedeutica e su analisi 1 quindi vorrei postare un paio di equazioni ed espressioni trig. che non riesco del tutto a risolvere, spero che qualcuno possa darmi una dritta:

PRIMA EQUAZ: [tex]2cos^2(2x) + cos(2x) = 0[/tex]

Pongo [tex]2x = a[/tex], quindi [tex]2cos^2(a) + cos(a) = 0[/tex]
Pongo [tex]cos(a) = t[/tex] , quindi [tex]2t^2 + t = 0 , t_1 = 0[/tex] e [tex]t_2 = -1/2[/tex]

[tex]cos(a) = 0[/tex] , da cui [tex]a = \pm \pi/2 + 2K\pi[/tex] ==>> [tex]2x = \pm \pi/2 + 2K\pi , x = \pm \pi/4 + K\pi[/tex] con [tex]K \in Z[/tex]

[tex]cos(a) = -1/2[/tex] , da cui [tex]a = \pi - \pi/3 + 2K\pi[/tex] ==>> [tex]2x = 2\pi/3 + 2K\pi , x = \pi/3 + K\pi[/tex] con [tex]K \in Z[/tex]

Per simmetria: [tex]cos(a) = -1/2 , a = \pi/3 - \pi + 2K\pi[/tex]==>> [tex]2x = -2\pi/3 + 2K\pi , x = -\pi/3 + K\pi[/tex] con [tex]K \in Z[/tex]

Quindi le MIE soluzioni sono: [tex]x = \pm \pi/4 + K\pi \cup x = \pm \pi/3 + K\pi[/tex] con [tex]K \in Z[/tex]

Domanda, perche' nel testo di riferimento mettono come soluzioni: [tex]x = \pi/4 + K\pi/2 \cup x = \pm \pi/3 + K\pi[/tex] ??

SECONDA EQUAZ: [tex]\sqrt{3}sinX = cosX[/tex]

Il mio ragionamento:

[tex]\sqrt{3}/2 sinX - 1/2 cosX = 0[/tex]

INIZIO SISTEMA
[tex]cos\varphi = \sqrt{3}/2[/tex]
[tex]sin\varphi = -1/2[/tex]
FINE SISTEMA
Ottengo che [tex]\varphi = \pi/6[/tex]

[tex]cos(\pi/6) sinX - sin(\pi/6) cosX = 0[/tex]

Dalle formule degli archi associati:

[tex]sin(x - \pi/6) = 0[/tex]
[tex]x - \pi/6 = 2K\pi , x = \pi/6 + 2K\pi[/tex] con [tex]K \in Z[/tex]
[tex]x - \pi/6 = \pi + 2K\pi , x = 7\pi/6 + 2K\pi[/tex] con [tex]K \in Z[/tex]

Quindi le mie soluzioni sono: [tex]x = \pi/6 + 2K\pi \cup x = 7\pi/6 + 2K\pi[/tex] con [tex]K \in Z[/tex]

Il testo pone come soluz: [tex]x = \pi/6 + 2K\pi[/tex] con [tex]K \in Z[/tex]

TERZA ED ULTIMA: [tex]4sin^2X - 2\sqrt{3}sinXcosX - 2cos^2X - 1 = 0[/tex]

Supponiamo che [tex]x = \pi/2 + 2K\pi \Longrightarrow cosX = 0 , sinX = 1[/tex] La nostra equaz si ridurrebbe a [tex]sin^2X = 1/4 \Longrightarrow cosX \not= 0[/tex]

[tex]\frac{4sin^2X}{cos^2X} -2\sqrt{3}\frac{sinXcosX}{cos^2X} - \frac{2cos^2X}{cos^2X} - \frac{sin^2X}{cos^2X} - \frac{cos^2X}{cos^2X}[/tex]

Quindi...

[tex]4tanX - 2\sqrt{3}tanX - 3 - tan^2X = 0[/tex]
[tex]tan^2X - 4tanX + 2\sqrt{3}tanX + 3 = 0[/tex]
[tex]tan^2X + (2\sqrt{3} - 4)tanX + 3 = 0[/tex] ...da qui in poi non so come procedere? Il piano d'azione sarebbe porre [tex]tanX = t[/tex] e trovare [tex]t_1 , t_2[/tex] ma non so come calcolare i valori di t visto che ho radice di radice e viene fuori un paciugo.


Spero che sia chiara la formattazione e spero che qualcuno sia cosi' gentile da darmi una mano qui.

Ciao a tutti,

Mateusz.

[GIMUSI]

Salve a tutti, sono nuovo in questo forum, non seguo direttamente le lezioni del Prof. Gobbino ma ho usufruito delle sue videolezioni sulla propedeutica e su analisi 1 quindi vorrei postare un paio di equazioni ed espressioni trig. che non riesco del tutto a risolvere, spero che qualcuno possa darmi una dritta:

PRIMA EQUAZ: [tex]2cos^2(2x) + cos(2x) = 0[/tex]

Pongo [tex]2x = a[/tex], quindi [tex]2cos^2(a) + cos(a) = 0[/tex]
Pongo [tex]cos(a) = t[/tex] , quindi [tex]2t^2 + t = 0 , t_1 = 0[/tex] e [tex]t_2 = -1/2[/tex]

[tex]cos(a) = 0[/tex] , da cui [tex]a = \pm \pi/2 + 2K\pi[/tex] ==>> [tex]2x = \pm \pi/2 + 2K\pi , x = \pm \pi/4 + K\pi[/tex] con [tex]K \in Z[/tex]

[tex]cos(a) = -1/2[/tex] , da cui [tex]a = \pi - \pi/3 + 2K\pi[/tex] ==>> [tex]2x = 2\pi/3 + 2K\pi , x = \pi/3 + K\pi[/tex] con [tex]K \in Z[/tex]

Per simmetria: [tex]cos(a) = -1/2 , a = \pi/3 - \pi + 2K\pi[/tex]==>> [tex]2x = -2\pi/3 + 2K\pi , x = -\pi/3 + K\pi[/tex] con [tex]K \in Z[/tex]

Quindi le MIE soluzioni sono: [tex]x = \pm \pi/4 + K\pi \cup x = \pm \pi/3 + K\pi[/tex] con [tex]K \in Z[/tex]

Domanda, perche' nel testo di riferimento mettono come soluzioni: [tex]x = \pi/4 + K\pi/2 \cup x = \pm \pi/3 + K\pi[/tex] ??

Mateusz.

[tex]x = \pm \pi/4 + K\pi[/tex]

e

[tex]x = \pi/4 + K\pi/2[/tex]

sono la stessa soluzione

[GIMUSI]

SECONDA EQUAZ: [tex]\sqrt{3}sinX = cosX[/tex]

Il mio ragionamento:

[tex]\sqrt{3}/2 sinX - 1/2 cosX = 0[/tex]

INIZIO SISTEMA
[tex]cos\varphi = \sqrt{3}/2[/tex]
[tex]sin\varphi = -1/2[/tex]
FINE SISTEMA
Ottengo che [tex]\varphi = \pi/6[/tex]

[tex]cos(\pi/6) sinX - sin(\pi/6) cosX = 0[/tex]

Dalle formule degli archi associati:

[tex]sin(x - \pi/6) = 0[/tex]
[tex]x - \pi/6 = 2K\pi , x = \pi/6 + 2K\pi[/tex] con [tex]K \in Z[/tex]
[tex]x - \pi/6 = \pi + 2K\pi , x = 7\pi/6 + 2K\pi[/tex] con [tex]K \in Z[/tex]

Quindi le mie soluzioni sono: [tex]x = \pi/6 + 2K\pi \cup x = 7\pi/6 + 2K\pi[/tex] con [tex]K \in Z[/tex]

Il testo pone come soluz: [tex]x = \pi/6 + 2K\pi[/tex] con [tex]K \in Z[/tex]

questa forse l'hai complicata un po'...

dividendo per [tex]cosx \neq 0[/tex] ottieni immediatamente [tex]tanx = \sqrt3/3[/tex]

che ha soluzione [tex]x = \pi/6 + K\pi[/tex] che coincide con la tua

certo bisogna prestare attenzione a quando dividi per [tex]cosx[/tex] ma in questo caso non elimini soluzioni e quella ottenuta è compatibile con l'assunzione fatta

[GIMUSI]

TERZA ED ULTIMA: [tex]4sin^2X - 2\sqrt{3}sinXcosX - 2cos^2X - 1 = 0[/tex]

Supponiamo che [tex]x = \pi/2 + 2K\pi \Longrightarrow cosX = 0 , sinX = 1[/tex] La nostra equaz si ridurrebbe a [tex]sin^2X = 1/4 \Longrightarrow cosX \not= 0[/tex]

[tex]\frac{4sin^2X}{cos^2X} -2\sqrt{3}\frac{sinXcosX}{cos^2X} - \frac{2cos^2X}{cos^2X} - \frac{sin^2X}{cos^2X} - \frac{cos^2X}{cos^2X}[/tex]

Quindi...

[tex]4tanX - 2\sqrt{3}tanX - 3 - tan^2X = 0[/tex]
[tex]tan^2X - 4tanX + 2\sqrt{3}tanX + 3 = 0[/tex]
[tex]tan^2X + (2\sqrt{3} - 4)tanX + 3 = 0[/tex] ...da qui in poi non so come procedere? Il piano d'azione sarebbe porre [tex]tanX = t[/tex] e trovare [tex]t_1 , t_2[/tex] ma non so come calcolare i valori di t visto che ho radice di radice e viene fuori un paciugo.

se sfrutti il fatto che

[tex]cos^2x+sen^2x=1[/tex]

elimini il termine costante

poi dividi tutto per [tex]cos^2x \neq 0[/tex] e ti riduci a questa:

[tex]3tan^2x - 2\sqrt{3}tanx - 3 = 0[/tex]

sulla divisione per [tex]cos^2x[/tex] valgono le cautele indicate prima

[mateusz]

Ciao GIMUSI,

grazie mille per la tua risposta che e' stata molto chiara e di grande aiuto, pero' rimane un dubbio...perche' le due scritture sono la stessa cosa nella PRIMA?
Vorrei precisare che ho cominciato lo studio della trigonometria da poco quindi e' possibile che mi sfugga qualche cosa...se mi potessi spiegare perche' sono la stessa cosa te ne sarei molto grato.

...se ho capito bene allora...anche la seconda soluzione la si puo' scrivere come:

[tex]x = \pi/3 + K\pi/2[/tex] ??

Mateusz.

[GIMUSI]

Ciao GIMUSI,

grazie mille per la tua risposta che e' stata molto chiara e di grande aiuto, pero' rimane un dubbio...perche' le due scritture sono la stessa cosa nella PRIMA?
Vorrei precisare che ho cominciato lo studio della trigonometria da poco quindi e' possibile che mi sfugga qualche cosa...se mi potessi spiegare perche' sono la stessa cosa te ne sarei molto grato.

...se ho capito bene allora...anche la seconda soluzione la si puo' scrivere come:

[tex]x = \pi/3 + K\pi/2[/tex] ??

Mateusz.

no nel secondo caso non è affatto la stessa cosa...

ti consiglio di fare un disegno della circonferenza individuando i punti nei vari casi

[mateusz]

aaaahhhhhh si certo ok ci sono!!

Tutto chiaro adesso!

Grazie ancora!