Applicazioni lineari 6

[GIMUSI]

allego le soluzioni con svolgimento dell'esercizio 1 del test n.33 "Applicazioni lineari 6"

vd. revisione successiva

[GIMUSI]

allego le soluzioni con svolgimento dell'esercizio 2 del test n.33 "Applicazioni lineari 6"

vd. revisione successiva

[GIMUSI]

allego le soluzioni con svolgimento dell'esercizio 3 del test n.33 "Applicazioni lineari 6"

vd. revisione successiva

[GIMUSI]

allego le soluzioni con svolgimento dell'esercizio 4 del test n.33 "Applicazioni lineari 6"

ora in rev01 grazie al contributo di "13700"

vd. revisione successiva

[Massimo Gobbino]

I punti (2a) e (3a) mi convincono abbastanza, il (2b) mi convince poco (ma la faccenda è burocratica), nel (3b) le dimensioni non mi tornano.

Lo so, è un po' criptico, ma il nuovo anno porterà consiglio, e magari qualche collaboratore in più alla risoluzione di questi esercizi.

Auguroni a tutti!

[GIMUSI]

I punti (2a) e (3a) mi convincono abbastanza, il (2b) mi convince poco (ma la faccenda è burocratica), nel (3b) le dimensioni non mi tornano.

Lo so, è un po' criptico, ma il nuovo anno porterà consiglio, e magari qualche collaboratore in più alla risoluzione di questi esercizi.

Auguroni a tutti!

infatti ho molti dubbi anche io...e li vorrei condividere e discutere...

grazie 1000 e tantissimi auguri anche a lei e tutti gli altri studenti del forum

[GIMUSI]

allego le soluzioni con svolgimento dell'esercizio 5 del test n.33 "Applicazioni lineari 6"

nei prossimi giorni cercherò di rivedere i punti dubbi segnalati dal prof...

ora è proprio giunto il momento di andare a festeggiare...ancora tanti auguri a tutti

[GIMUSI]

...nel (3b) le dimensioni non mi tornano.

ho ripensato all'esercizio (3b) e (anche sulla base del (1b)) mi verrebbe da riconfermare che la dimensione è 4...perché la base è composta dalle quattro applicazioni:

[tex]f_1_3(v_1)=(1,2,3)[/tex]

[tex]f_2_3(v_2)=(1,2,3)[/tex]

[tex]f_3_1(v_3)=v_1[/tex]

[tex]f_3_2(v_3)=v_2[/tex]

[13700]

Ehm, nel 2b perché alfa deve essere diverso da 0? anche l'applicazione che butta tutto in 0 dovrebbe andare bene, anche se è banale, perché sennò non è uno spazio vettoriale, tra il resto...

Nel 3b, non mi torna una cosa: f_13 eccetera come le definisci? non dovresti dare 3 condizioni come facevi prima? non capisco ..

Poi ti volevo chiedere ... nel 4a ho fatto la tua dimostrazione f(f(v))=0 vuol dire che f(v) sta nel ker, ma f(v) è l'immagine... però poi come fai a scegliere le basi in quel modo? Cioè ... se l'immagine sta nel ker ... non lo so, c'è qualcosa che non capisco

[GIMUSI]

Ehm, nel 2b perché alfa deve essere diverso da 0? anche l'applicazione che butta tutto in 0 dovrebbe andare bene, anche se è banale, perché sennò non è uno spazio vettoriale, tra il resto...

se [tex]\alpha[/tex] fosse zero andrebbe tutto a finire nel [tex]Ker(f)[/tex]...quindi è un caso da escludere...

più che altro mi chiedo se sia necessario introdurlo...mi viene da pensare che che mandare [tex]v_3[/tex] in (1,2,3) sia del tutto equivalente a mandarlo in (2,4,6)...

Nel 3b, non mi torna una cosa: f_13 eccetera come le definisci? non dovresti dare 3 condizioni come facevi prima? non capisco ..

nel punto (3a) si chiede che [tex]f(w)\in V[/tex]...allora è sufficiente mandare [tex]f(v_3)[/tex] in una qualsiasi combinazione lineare di [tex]v_1[/tex] e [tex]v_2[/tex]

nel punto (3b) invece si chiede di dare la dimensione di tutte le applicazioni tali che [tex]f(w)\in V[/tex]...e queste dovrebbero avere come base le 4 applicazioni [tex]f_i_j[/tex] che ho indicato (la logica è la medesima che ho seguito nel punto 1b)

Poi ti volevo chiedere ... nel 4a ho fatto la tua dimostrazione f(f(v))=0 vuol dire che f(v) sta nel ker, ma f(v) è l'immagine... però poi come fai a scegliere le basi in quel modo? Cioè ... se l'immagine sta nel ker ... non lo so, c'è qualcosa che non capisco

ho notato solo ora che ho scritto erroneamente che [tex]v_1,v_2,...,v_k[/tex] sono base di [tex]v_k_+_1,v_k_+_2,...,v_n[/tex]...ovviamente intendevo che sono base delle loro immagini...è un passaggio decisivo che non ho esplicitato bene...ripeto qui il ragionamento...

- supponiamo che il [tex]Ker(f)[/tex] abbia dimensione [tex]k[/tex] e quindi come base i [tex]k[/tex] vettori [tex]v_1,v_2,...,v_k[/tex]

- allora [tex]Im(f)[/tex] deve avere dimensione [tex]n-k[/tex] e come base [tex]n-k[/tex] vettori [tex]v_k_+_1,v_k_+_2,...,v_n[/tex] ([tex]dim(Ker) + dim(Im) = n[/tex])

- se [tex]Im(f)\subseteq Ker(f)[/tex] significa che gli [tex]n-k[/tex] vettori immagine della base di [tex]Im(f)[/tex] si possono scrivere come combinazione lineare dei [tex]k[/tex] vettori base del [tex]Ker[/tex]

(qui il passaggio fondamentale che ho saltato)

- i vettori immagine della base di [tex]Im(f)[/tex] non solo devo essere non nulli (altrimenti i [tex]v_k_+_1,v_k_+_2,...,v_n[/tex] sarebbero nel [tex]Ker)[/tex] ma devono anche essere linearmente indipendenti (altrimenti anche le corrispondenti combinazioni lineari nulle dei [tex]v_k_+_1,v_k_+_2,...,v_n[/tex] finirebbero nel [tex]Ker[/tex])

- pertanto deve risultare [tex]k\geq n-k[/tex]

[13700]

se [tex]\alpha[/tex] fosse zero andrebbe tutto a finire nel [tex]Ker(f)[/tex]...quindi è un caso da escludere...

Beh allora è inutile andare avanti: se non contiene lo 0, non è un sottospazio di End(quellarobalì), no? Avevo letto erroneamente che l'immagine di f dovesse stare dentro W e non essere uguale.

più che altro mi chiedo se sia necessario introdurlo...mi viene da pensare che che mandare [tex]v_3[/tex] in (1,2,3) sia del tutto equivalente a mandarlo in (2,4,6)...

Boh, per descriverle tutte io farei una cosa tipo: fisso v1, v2, v3 e poi dico che f(v1)=0, f(v2)=0, f(v3)=k(1,2,3) ... al variare di k diverso da 0 per quel che dicevi prima. A questo punto posso pure scrivere la matrice (con un po' di conti). Far variare v3 mi sembra più brutto: non c'è modo di dire che due diversi v3 non mi diano la stessa funzione f, quindi magari le ho descritte tutte ma in modo non unico ... vabbeh che non è richiesto.

nel punto (3a) si chiede che [tex]f(w)\in V[/tex]...allora è sufficiente mandare [tex]f(v_3)[/tex] in una qualsiasi combinazione lineare di [tex]v_1[/tex] e [tex]v_2[/tex]

si chiede anche che f(v) stia in W... questo dicevo.

nel punto (3b) invece si chiede di dare la dimensione di tutte le applicazioni tali che [tex]f(w)\in V[/tex]...e queste dovrebbero avere come base le 4 applicazioni [tex]f_i_j[/tex] che ho indicato (la logica è la medesima che ho seguito nel punto 1b)

no, quello che volevo dire io ... tu imponi ad esempio che f_1 sia tale che f_1(v1)=(1,2,3) e ok ... ma cosa fa f_1 su v2 e su v_3? devi dirlo sennò non hai descritto una funzione, ma tante.

Poi ti volevo chiedere ... nel 4a ho fatto la tua dimostrazione f(f(v))=0 vuol dire che f(v) sta nel ker, ma f(v) è l'immagine... però poi come fai a scegliere le basi in quel modo? Cioè ... se l'immagine sta nel ker ... non lo so, c'è qualcosa che non capisco

ho notato solo ora che ho scritto erroneamente che [tex]v_1,v_2,...,v_k[/tex] sono base di [tex]v_k_+_1,v_k_+_2,...,v_n[/tex]...ovviamente intendevo che sono base delle loro immagini

no vabbeh questo l'avevo capito..

...è un passaggio decisivo che non ho esplicitato bene...ripeto qui il ragionamento...

- supponiamo che il [tex]Ker(f)[/tex] abbia dimensione [tex]k[/tex] e quindi come base i [tex]k[/tex] vettori [tex]v_1,v_2,...,v_k[/tex]

- allora [tex]Im(f)[/tex] deve avere dimensione [tex]n-k[/tex] e come base [tex]n-k[/tex] vettori [tex]v_k_+_1,v_k_+_2,...,v_n[/tex] ([tex]dim(Ker) + dim(Im) = n[/tex])

- se [tex]Im(f)\subseteq Ker(f)[/tex] significa che gli [tex]n-k[/tex] vettori immagine della base di [tex]Im(f)[/tex] si possono scrivere come combinazione lineare dei [tex]k[/tex] vettori base del [tex]Ker[/tex]

(qui il passaggio fondamentale che ho saltato)

- i vettori immagine della base di [tex]Im(f)[/tex] non solo devo essere non nulli (altrimenti i [tex]v_k_+_1,v_k_+_2,...,v_n[/tex] sarebbero nel [tex]Ker)[/tex] ma devono anche essere linearmente indipendenti (altrimenti anche le corrispondenti combinazioni lineari nulle dei [tex]v_k_+_1,v_k_+_2,...,v_n[/tex] finirebbero nel [tex]Ker[/tex])

- pertanto deve risultare [tex]k\geq n-k[/tex]

Ma questo l'avevo capito, l'unica mia obiezione era come facesse ad essere v1,...,vn una base di V .... come scrivi all'inizio?

[Massimo Gobbino]

Beh allora è inutile andare avanti: se non contiene lo 0, non è un sottospazio di End(quellarobalì), no?

Esatto: non è un sottospazio per ragioni burocratiche: manca lo zero! Se non fosse per quello, lo sarebbe!

tu imponi ad esempio che f_1 sia tale che f_1(v1)=(1,2,3) e ok ... ma cosa fa f_1 su v2 e su v_3? devi dirlo sennò non hai descritto una funzione, ma tante.

Saggia osservazione . Resta aperta la questione della dimensione del (3b).

[GIMUSI]

Beh allora è inutile andare avanti: se non contiene lo 0, non è un sottospazio di End(quellarobalì), no?

Esatto: non è un sottospazio per ragioni burocratiche: manca lo zero! Se non fosse per quello, lo sarebbe!

tu imponi ad esempio che f_1 sia tale che f_1(v1)=(1,2,3) e ok ... ma cosa fa f_1 su v2 e su v_3? devi dirlo sennò non hai descritto una funzione, ma tante.

Saggia osservazione . Resta aperta la questione della dimensione del (3b).

mi sono un po' perso...vorrei ragioniare su un punto per volta...la conclusione del esercizio 1 valgono?...[tex]END(V,W)[/tex] è uno spazio vettoriale e le applicazioni [tex]f_i_j(v_i)=a_i_jf(w_j)[/tex] con i [tex]v_i[/tex] base di [tex]V[/tex] e i [tex]w_j[/tex] base di [tex]W[/tex] sono una sua base ?

[GIMUSI]

Ma questo l'avevo capito, l'unica mia obiezione era come facesse ad essere v1,...,vn una base di V .... come scrivi all'inizio?

è semplicemente una assunzione visto che V ha base finita

[13700]

Ma questo l'avevo capito, l'unica mia obiezione era come facesse ad essere v1,...,vn una base di V .... come scrivi all'inizio?

è semplicemente una assunzione visto che V ha base finita

Uhm ... sì ma poi dici anche che i primi k sono una base del nucleo e i restanti sono una base dell'immagine... ma se il nucleo contiene l'immagine questo non è possibile.