Determinante - teorema esistenza e unicità

[GIMUSI]

non mi è del tutto chiara la logica della dimostrazione del teorema di esistenza e unicità del determinante per i casi n=2 e n=3;

se ho capito bene i passi della dimostrazione sono i seguenti:

1) dapprima si ipotizza l’esistenza della funzione determinante

2) applicando le proprietà basic si arriva ad una espressione del determinante (dubbio : questa è la prova che, se la funzione esiste, essa è unica?)

3) si verifica che tale espressione soddisfa le proprietà basic (dubbio : ma questo non è già implicito nel modo in cui ho derivato l’espressione?)

[Massimo Gobbino]

2) applicando le proprietà basic si arriva ad una espressione del determinante (dubbio : questa è la prova che, se la funzione esiste, essa è unica?)

Assolutamente sì. Questo si chiama ragionare per "condizioni necessarie". Si parte dall'espressione che si vuole calcolare, che nel caso 2*2 sarebbe det((a,b),(c,d)), e seguendo un certo percorso ed applicando le proprietà che ci siamo imposti, troviamo che deve essere ad-bc. Questo mostra che, se esiste una quantità che verifica quelle proprietà, allora è per forza ad-bc, il che dà l'unicità. Quello che per il momento non possiamo escludere è che, seguendo un altro percorso ed applicando le stesse proprietà, arriviamo ad un'espressione differente. Se questo accadesse, non vorrebbe dire che non c'è unicità, ma che non c'è esistenza, perché quello che cerchiamo dovrebbe essere *contemporaneamente* uguale a due cose differenti, entrambe ottenute con ragionamenti leciti. In altre parole, vorrebbe dire che abbiamo imposto delle condizioni non compatibili.

3) si verifica che tale espressione soddisfa le proprietà basic (dubbio : ma questo non è già implicito nel modo in cui ho derivato l’espressione?)

Non è implicito, perché il fatto che nel derivare una certa espressione abbiamo usato delle proprietà non assicura per nulla che il risultato ottenuto le verificherà ancora. Inoltre nel derivare l'espressione abbiamo usato le proprietà solo in casi particolari (ad esempio abbiamo usato che il determinante è zero se le righe sono uguali solo nel caso in cui le righe erano vettori della base canonica), mentre all'espressione finale si richiede di verificarle in maggior generalità.

Spero di essermi spiegato, ma se non l'ho fatto basta richiedere .

[GIMUSI]

quindi con il passo "2" si arriva ad una espressione papabile ma che in realtà potrebbe essere fallace?

grazie...ci ragionerò un po' su

[Massimo Gobbino]

quindi con il passo "2" si arriva ad una espressione papabile ma che in realtà potrebbe essere fallace?

Esattamente. Aggiungo un esempio, che non c'entra nulla ma dovrebbe rendere l'idea.

Trovare tutte le funzioni [tex]f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/tex] tali che

f(x+y) = 2x + 3f(y) per ogni x e y reali.

Ora, se poniamo x=y=0 otteniamo f(0)=3f(0), da cui f(0)=0. Ponendo ora y=0, otteniamo f(x) = 2x + 3f(0) = 2x, quindi f(x) = 2x.

Cosa ci dice questo? Che se c'è una soluzione allora questa è unica, perché deve essere f(x)=2x.

Tuttavia, si vede subito che questa non va bene, perché sostituendo verrebbe 2(x+y) = 2x + 6y ...

Quindi la papabile ottenuta procedendo per condizioni necessarie era fallace

[GIMUSI]

ora le cose che non ho capito son diventate due

scherzi a parte con questo esempio la cosa è più chiara...grazie ancora

[GIMUSI]

Dopo il chiarimento per i casi n=2 e n=3, per il caso generale mi pare di aver capito che:

1) unicità:
- si dimostra con l’algoritmo di gauss, nel senso che operando alla gauss ortodosso si può sempre giungere ad una forma triangolare superiore per la quale, in virtù delle proprietà basic, sappiamo calcolare il “papabile” determinante;

- l’algoritmo di gauss ortodosso funziona perché, in virtù delle proprietà basic, sappiamo che esso non modifica il valore del determinante ( dubbio sugli eventuali scambi di righe che ne cambiano il segno; possibile soluzione: non mi pare sia un’operazione indispensabile, cioè mi pare che si possa sempre triangolarizzare anche senza scambi di righe);

- pertanto con gauss si dimostra che, data una matrice nxn, se il determinante esiste (soddisfacimento delle basic) esso ha un unico valore.

2) esistenza
- per mostrarne l’esistenza si ricorre agli sviluppi di laplace applicandoli per induzione;

- il passo base si fa utilizzando il caso n=2 o n=3;

- per il passo induttivo si mostra che, nota l’espressione giusta del det per il caso n, si è in grado di costruirne (con la formula di laplace) un’altra “papabile” per il caso n+1 che soddisfa le proprietà basic.

[Massimo Gobbino]

Dopo il chiarimento per i casi n=2 e n=3, per il caso generale mi pare di aver capito che:

1) unicità:
- si dimostra con l’algoritmo di gauss, nel senso che operando alla gauss ortodosso si può sempre giungere ad una forma triangolare superiore per la quale, in virtù delle proprietà basic, sappiamo calcolare il “papabile” determinante;

Esatto.

- l’algoritmo di gauss ortodosso funziona perché, in virtù delle proprietà basic, sappiamo che esso non modifica il valore del determinante ( dubbio sugli eventuali scambi di righe che ne cambiano il segno; possibile soluzione: non mi pare sia un’operazione indispensabile, cioè mi pare che si possa sempre triangolarizzare anche senza scambi di righe);

No, gli scambi di righe servono, basta pensare al caso in cui la matrice di partenza è una 2*2 che ha prima riga 0-1 e seconda riga 1-0. Tuttavia, basta tenerne conto: il valore papabile è il prodotto degli elementi sulla diagonale della triangolarizzata moltiplicato per +1 o -1 a seconda che si sia fatto un numero pari o dispari di scambi di riga, quindi è comunque univocamente determinato.

- pertanto con gauss si dimostra che, data una matrice nxn, se il determinante esiste (soddisfacimento delle basic) esso ha un unico valore.

Esatto.

2) esistenza
- per mostrarne l’esistenza si ricorre agli sviluppi di laplace applicandoli per induzione;

- il passo base si fa utilizzando il caso n=2 o n=3;

O addirittura n=1 se si vuol fare i pigri

- per il passo induttivo si mostra che, nota l’espressione giusta del det per il caso n, si è in grado di costruirne (con la formula di laplace) un’altra “papabile” per il caso n+1 che soddisfa le proprietà basic.

Esatto. Ad essere più precisi: nota *una qualunque* espressione che funziona per n (dall'unicità sappiamo che è unica, ma qui è irrilevante), con laplace (occhio, per colonne) si ottiene un'espressione buona per n+1. Questa è l'unica verifica che non ho fatto esplicitamente a lezione, non perché sia particolarmente difficile dal punto di vista concettuale, ma perché è piuttosto pesante come notazione.

[GIMUSI]

No, gli scambi di righe servono, basta pensare al caso in cui la matrice di partenza è una 2*2 che ha prima riga 0-1 e seconda riga 1-0. Tuttavia, basta tenerne conto: il valore papabile è il prodotto degli elementi sulla diagonale della triangolarizzata moltiplicato per +1 o -1 a seconda che si sia fatto un numero pari o dispari di scambi di riga, quindi è comunque univocamente determinato.

in casi del genere pensavo di evitare lo scambio sommando prima le righe; mi spiego, nel caso semplice con prima riga (0 1) e seconda riga (1 0), sommando alla prima la seconda otteniamo come prima riga (1 1) e infine, sottraendo questa dalla seconda, la matrice avente prima riga (1 1) e seconda riga (0 -1); comunque il punto è chiaro...gli scambi non sono un problema ( allora nemmeno gauss non ortodosso?)

O addirittura n=1 se si vuol fare i pigri

pigrissimi

ma la proprietà Det2 (due righe uguali det=0) come si verifica nel caso n=1?

Esatto. Ad essere più precisi: nota *una qualunque* espressione che funziona per n (dall'unicità sappiamo che è unica, ma qui è irrilevante), con laplace (occhio, per colonne) si ottiene un'espressione buona per n+1. Questa è l'unica verifica che non ho fatto esplicitamente a lezione, non perché sia particolarmente difficile dal punto di vista concettuale, ma perché è piuttosto pesante come notazione.

infatti mi chiedevo come si potesse verificare la correttezza dello sviluppo di laplace...mi pare che operando sulla prima colonna, impiegando le proprietà Det4 (linearità) e Det5 (alternanza), scomponendo via via la matrice, scambiando le righe e gaussizzando i minori le cose tornino bene ( quindi anche dietro lo sviluppo di laplace c'è sempre gauss?)

un ultimo dubbio (forse stupido ): mi pare che l'unicità sia riferita al "valore" del determinante...ha senso anche parlare di unicità dell'espressione?

[Massimo Gobbino]

in casi del genere pensavo di evitare lo scambio sommando prima le righe; mi spiego, nel caso semplice con prima riga (0 1) e seconda riga (1 0), sommando alla prima la seconda otteniamo come prima riga (1 1) e infine, sottraendo questa dalla seconda, la matrice avente prima riga (1 1) e seconda riga (0 -1);

Ah, certo, si può fare anche così.

comunque il punto è chiaro...gli scambi non sono un problema ( allora nemmeno gauss non ortodosso?)

Certamente, basta tenere conto di tutti i coefficienti diversi da 1 che si sono utilizzati.

ma la proprietà Det2 (due righe uguali det=0) come si verifica nel caso n=1?

Eheh, la proprietà è vuota, quindi verificata banalmente. Ad esempio, è vero che tutte le volte che ho vinto la lotteria sono ingrassato di 200 kg. E' un po' una sottigliezza logica, e per questo preferisco partire da casi più sensati.

nfatti mi chiedevo come si potesse verificare la correttezza dello sviluppo di laplace...mi pare che operando sulla prima colonna, impiegando le proprietà Det4 (linearità) e Det5 (alternanza), scomponendo via via la matrice, scambiando le righe e gaussizzando i minori le cose tornino bene ( quindi anche dietro lo sviluppo di laplace c'è sempre gauss?)

No, è tutto molto più semplice. Bisogna dimostrare che, assumendo che det in dimensione n verifichi (Det1)--(Det4), allora quella cosa scritta con lo sviluppo di Laplace verifica ancora (Det1)--(Det4). Ad esempio per (Det2) supponiamo che la matrice (n+1)*(n+1) abbia due righe uguali. Allora facendo Laplace rispetto alla prima colonna otteniamo (n+1) termini. Di questi, tutti tranne 2 coinvolgono un determinante n*n con due righe uguali, quindi nullo. Restano gli altri due termini, quelli in cui ho usato il termine proveniente da una delle due righe uguali, e bisogna dimostrare che sono l'uno l'opposto dell'altro. A meno del segno sono la stessa cosa, perché il termine preso dalla colonna è lo stesso e anche il determinante n*n coinvolge matrici che hanno solo le righe permutate. Si tratta di andare a vedere che il segno è opposto ...

Sono solo verifiche di questo tipo, e si trovano in qualunque libro (o uno può ovviamente farsele da sè, una volta capito come funziona). Alla fine però non aggiungono moltissimo alla comprensione, ed il motivo per cui le ho lasciate fuori, dovendo per forza tagliare da qualche parte per non procedere alla velocità della luce.

un ultimo dubbio (forse stupido ): mi pare che l'unicità sia riferita al "valore" del determinante...ha senso anche parlare di unicità dell'espressione?

Non ha senso. Le funzioni x+3 e [2(x+5)-4]/2 hanno gli stessi "valori", ma forse diverse "espressioni".

[GIMUSI]

nfatti mi chiedevo come si potesse verificare la correttezza dello sviluppo di laplace...mi pare che operando sulla prima colonna, impiegando le proprietà Det4 (linearità) e Det5 (alternanza), scomponendo via via la matrice, scambiando le righe e gaussizzando i minori le cose tornino bene ( quindi anche dietro lo sviluppo di laplace c'è sempre gauss?)

No, è tutto molto più semplice. Bisogna dimostrare che, assumendo che det in dimensione n verifichi (Det1)--(Det4), allora quella cosa scritta con lo sviluppo di Laplace verifica ancora (Det1)--(Det4). Ad esempio per (Det2) supponiamo che la matrice (n+1)*(n+1) abbia due righe uguali. Allora facendo Laplace rispetto alla prima colonna otteniamo (n+1) termini. Di questi, tutti tranne 2 coinvolgono un determinante n*n con due righe uguali, quindi nullo. Restano gli altri due termini, quelli in cui ho usato il termine proveniente da una delle due righe uguali, e bisogna dimostrare che sono l'uno l'opposto dell'altro. A meno del segno sono la stessa cosa, perché il termine preso dalla colonna è lo stesso e anche il determinante n*n coinvolge matrici che hanno solo le righe permutate. Si tratta di andare a vedere che il segno è opposto ...
Sono solo verifiche di questo tipo, e si trovano in qualunque libro (o uno può ovviamente farsele da sè, una volta capito come funziona). Alla fine però non aggiungono moltissimo alla comprensione, ed il motivo per cui le ho lasciate fuori, dovendo per forza tagliare da qualche parte per non procedere alla velocità della luce.

chiarissimo...gauss consente di dimostrare che se la funzione determinante esiste essa è unica...e lo sviluppo di laplace permette di dimostrarne l'esistenza per induzione (soddisfacimento della basic)...
...il dubbio che mi era venuto è da dove venisse fuori l'espressione papabile "sviluppo di laplace"...ora mi è chiaro che questo è un aspetto che non c'entra nulla con il teorema ed in particolare con l'esistenza

un ultimo dubbio (forse stupido ): mi pare che l'unicità sia riferita al "valore" del determinante...ha senso anche parlare di unicità dell'espressione?

Non ha senso. Le funzioni x+3 e [2(x+5)-4]/2 hanno gli stessi "valori", ma forse diverse "espressioni".

avevo l'impressione infatti che fosse un dubbio stupido