Simulazione scritto d'esame 1

[GIMUSI]

E la stessa matrice A mi è venuta facendo il matricione. Perchè?

sembra che tu abbia applicato gauss jordan... anche se non mi è chiaro esattamente a quali matrici

[nomeutente]

Hai presente gli esercizi sulle applicazioni lineari dove avevo l'immagine e ricavavo i coefficienti della combinazione lineare facendo il matricione e lavorando alla gauss fino alla I a sinistra? Questo. Va bene? E perchè funziona?
e già che ci siamo come hai trovato la base per l'immagine?

[GIMUSI]

Hai presente gli esercizi sulle applicazioni lineari dove avevo l'immagine e ricavavo i coefficienti della combinazione lineare facendo il matricione e lavorando alla gauss fino alla I a sinistra? Questo. Va bene? E perchè funziona?
e già che ci siamo come hai trovato la base per l'immagine?

quello che hai fatto corrisponde a quanto spiegato nella lezione 20 (metodo gauss-jordan) e in parte alla fine della lezione 37

se metti due matrici [tex]n*n[/tex] una accanto all'altra [tex](N|B)[/tex] e operi alla gauss fino a rendere [tex]N[/tex] uguale alla matrice identità questo equivale a moltiplicare da sinistra entrambe le matrici per la matrice inversa [tex]N^-^1[/tex] quindi la matrice di destra finale corrisponde al prodotto [tex]N^-^1B[/tex]

nel caso specifico se a sinistra hai messo la matrice [tex]M[/tex] che ha per colonne le componenti dei [tex]v_i[/tex] in base canonica e a destra la matrice che ha per colonne gli [tex]f(v_i)[/tex] in base canonica non mi è chiaro come possa comparirti alla fine la matrice [tex]A[/tex]...dovrebbe comparirti infatti la [tex]A^*[/tex] che ha gli [tex]f(v_i)[/tex] in base [tex]v_1,v_2,v_3[/tex]

per quanto riguarda la base dell'immagine una volta che hai la matrice [tex]A[/tex] basta applicare gauss...una base dell'IM è costituita dalle colonne della matrice di partenza che nella forma a scala contengono i pivot...

in alternativa una volta che hai la base del ker la completi ad una base di [tex]R^3[/tex]...allora l'immagine di questi vettori sono una base dell'IM (vd. teorema lez.19)

[Massimo Gobbino]

Hai presente gli esercizi sulle applicazioni lineari dove avevo l'immagine e ricavavo i coefficienti della combinazione lineare facendo il matricione e lavorando alla gauss fino alla I a sinistra? Questo. Va bene? E perchè funziona?

Qui siamo ai limiti dell'alchimia! Uno vede l'esercizio, vede quanto deve venire, e prova in tutti i modi a mescolare gli ingredienti finché non trova il risultato voluto. Questo modo di procedere in certi casi può funzionare, ma è come cercare di curare qualche malattia con code di lucertola ed ali di pipistrello . L'approccio scientifico è diverso , e tradotto nel nostro caso consisterebbe nel capire bene come le matrici rappresentano le applicazioni lineari (e ci sono intere schede di esercizi su questo) e vedere che poi l'esercizio è una banalità e non richiede nessuna invenzione particolare.

La situazione generale è la seguente: uno conosce le componenti di [tex]v_i[/tex] e [tex]w_i[/tex] rispetto ad una certa base (ad esempio quella canonica), e vuole trovare la matrice A che rappresenta, rispetto alla base canonica in partenza ed arrivo, l'applicazione lineare tale che [tex]f(v_i)=w_i[/tex]. Ovviamente ci sono moltissimi metodi, tutti funzionanti, a partire dal super-bovino che prevede di prendere una matrice A a coefficienti incogniti ed imporre le condizioni: viene un comodo sistema di n^2 equazioni in altrettante incognite, e non resta che risolvere. Ci sono però alternative più rapide, per esempio:

• costruire la matrice B che ha come colonne i [tex]w_i[/tex]: questa rappresenta f avendo in partenza la base data dai [tex]v_i[/tex] ed in arrivo la canonica,
• costruire la matrice M che ha come colonne i [tex]v_i[/tex]: questa rappresenta il cambio di base che prende in input le componenti rispetto alla base data dai [tex]v_i[/tex] e fornisce in output le componenti rispetto alla canonica,
• calcolare [tex]A=BM^{-1}[/tex] che rappresenta f dalla canonica alla canonica.

Nelle lezioni 35 e 36 ci sono vari esempi di questo modo di procedere che, ripeto, non è l'unico possibile.

Poi non escludo che si possa fare il tutto con un Gauss-Jordan misterioso su una matrice opportuna, visto che (come osservato da GIMUSI) questo equivale a moltiplicare a sinistra per opportune inverse (qui però servirebbe moltiplicare a destra), ma in ogni caso si perderebbe il controllo di cosa si sta facendo.

È un po' come il calcolo del volume di un tetraedro nello spazio, note le coordinare dei 4 vertici, facendo il determinante della matrice 4*4 ottenuta usando i vertici e piazzando degli 1 in posizioni strategiche: funziona e c'è una spiegazione, ma capita la spiegazione è più comodo procedere in altro modo.

[nomeutente]

Quando vado a mettere a sinistra i v1, v2 ecc dati metto le componenti rispetto alla canonica di quei vettori. A destra faccio lo stesso per i w1, w2 ecc. Facendo gauss - Jordan vado a fare B M^-1. No?

[GIMUSI]

Quando vado a mettere a sinistra i v1, v2 ecc dati metto le componenti rispetto alla canonica di quei vettori. A destra faccio lo stesso per i w1, w2 ecc. Facendo gauss - Jordan vado a fare B M^-1. No?

no...perché come già detto e mi pare anche confermato dal prof...se metti due matrici [tex]n*n[/tex] una accanto all'altra [tex](M|B)[/tex] e operi alla gauss fino a rendere [tex]M[/tex] uguale alla matrice identità questo equivale a moltiplicare da sinistra entrambe le matrici per la matrice inversa [tex]M^-^1[/tex] quindi la matrice di destra finale corrisponde al prodotto [tex]M^-^1B[/tex] e non [tex]BM^-^1[/tex]

[nomeutente]

Nell'ultimo esercizio, il sistema, se λ = 9 ho infinite soluzioni perchè avrei 0=0 e quindi dipendenti da z. O no?

[GIMUSI]

Nell'ultimo esercizio, il sistema, se λ = 9 ho infinite soluzioni perchè avrei 0=0 e quindi dipendenti da z. O no?

se [tex]\lambda \neq 9[/tex] hai tre pivot quindi un'unica soluzione

se [tex]\lambda = 9[/tex] non ci sono soluzioni perché l'ultima equazione diventerebbe (nel sistema a scala) [tex]0z=2[/tex]

[matt_93]

delle soluzioni postate da GIMUSI:

1) non mi torna la base di [tex]dim( V \cap W)[/tex]:
mi viene [tex]x^3 - x^2 - x + 2[/tex]

2) la soluzione dell'esercizio 4 punto a:
[tex](x,y,z) = (\frac{124}{27}, \frac{-29}{9}, \frac{2}{9})[/tex]

[GIMUSI]

delle soluzioni postate da GIMUSI:

1) non mi torna la base di [tex]dim( V \cap W)[/tex]:
mi viene [tex]x^3 - x^2 - x + 2[/tex]

non è possibile che l'intersezione contenga [tex]x^3[/tex] dato che [tex]x^3[/tex] non c'è nel sottospazio [tex]W[/tex]

2) la soluzione dell'esercizio 4 punto a:
[tex](x,y,z) = (\frac{124}{27}, \frac{-29}{9}, \frac{2}{9})[/tex]

se fai la verifica ad esempio con:

[tex]y+z=1[/tex]

nel tuo caso verrebbe -3

[matt_93]

hai ragione, mia idiozia!

[Pirello]

@GIMUSI

Nel quarto esercizio hai fatto un errore di copiatura del testo.. Precisamente hai scritto [tex]y + z = +1[/tex] anzichè [tex]y + z = -1[/tex] e di conseguenza ti vengono soluzioni sbagliate..

A me per il punto A) mi viene x=2 , y = -1 e z = 0; per il punto B) soluzione unica per lambda uguale a +9; per il punto C) per lambda diverso da -9: soluzione unica, per lambda uguale a -9: soluzioni infinite ponendo z = t. (Ho già fatto tutte le verifiche necessarie)

@Per il Professore: Le va bene se in un giorno in cui fa lezione a TLC le consegnassi lo svolgimento per vedere a che punto sono arrivato? (sostanzialmente per verificare se il lavoro svolto finora vale qualcosa..)

[GIMUSI]

@GIMUSI

Nel quarto esercizio hai fatto un errore di copiatura del testo.. Precisamente hai scritto [tex]y + z = +1[/tex] anzichè [tex]y + z = -1[/tex] e di conseguenza ti vengono soluzioni sbagliate..

hai ragione!!!

[Massimo Gobbino]

@Per il Professore: Le va bene se in un giorno in cui fa lezione a TLC le consegnassi lo svolgimento per vedere a che punto sono arrivato? (sostanzialmente per verificare se il lavoro svolto finora vale qualcosa..)

Certamente.

[Leonardo]

Nello svolgimento del primo esercizio il procedimento che ho usato è questo:
ho scritto il piano in forma parametrica A+t(B-A)+s(C-A) ottenendo (0 0 1)+t(0 2 -1)+s(-1 2 2).
A questo punto con la formula misteriosa (tra l'altro mi piacerebbe sapere se ci si può riferire ad essa chiamandola rotore) ottengo il vettore a=(6 1 2) perpendicolare al piano ABC. Da qui ho usato la formula area(ABC)=(1/2)*(sqrt(41)) con sqrt(41)=norma di a.
Poi ho parametrizzato la retta passante per D e perpendicolare al piano così: (0 1 1)+r(6 1 2)
Successivamente ho posto le due parametrizzazioni uguali per trovare il punto di intersezione ottenendo il sistema
-s=6r
2t+2s=1+r
1-t+2s=1+2r
La cui soluzione mi ha dato r=-1/41 dal quale ho ricavato il punto P=(-6/31 -40/41 29/41)
Quindi la dist(D,P)=1/sqrt(41)
Infine il volume viene:
VOL=(Area di base * altezza)/3 cioè (1/2)*sqrt(41)*(1/sqrt(41))*1/3=1/6
Ho corretto il mio banale errore di calcolo,spero possa servire a qualcuno lo svolgimento