Simulazione scritto d'esame

[tommy1996q]

Ok credo di aver capito. Dalla regolarità \(H^2\) passi alla \(H^4\) per il teorema di regolarità. A questo punto per le immersioni avrai sicuramente \(u \in C^{k, \alpha}\) per qualche \(k \geq 1\). Il problema è che se voglio la C infinità devo iterare, e mi sembra che nel momento in cui \(f \in C^{k,\alpha}\) si possano usare le stime di Schauder per concludere che \(u \in C^{k + 2 , \alpha}\).

Allora a questo punto si dovrebbe dimostrare che \(u^{8102} \in C^{k+2, \beta}\), con \(\beta \neq \alpha\), eventualmente.

Un altro modo potrebbe essere dimostrare che \(f=u^{8102} \in H^4\), e da qui per regolarità avrei \(u \in H^6\), e se riuscissi a iterare potrei avere immersioni nei \(C^k\) che voglio.

Il punto è che nessuno di questi due casi mi sembra così "in discesa" (soprattutto il primo, non ho idea di come usare le stime di Schauder in quel modo).

Quindi cosa avete in mente per ottenere regolarità?

[C_Paradise]

Avevo risposto di fretta, ci penso un altro po’..

[LucaMac]

Io pensavo alla seconda che accenni, "scrivi" esplicitamente la derivata quarta di \(u^{8101}\) e sai concludere dopo aver osservato che \(D_{x_i} u , D_{x_i}^2 u \in L^{\infty}\) per i teoremi di immersione. A questo punto ripeti, osservando di volta in volta che le derivate giuste sono uniformemente limitate e che le altre (solo le ultime due) compaiono con esponente al più \(1\).

Potremmo anche direttamente dire:
\(u^{8101} \in L^{\infty} \subseteq L^2\), dunque \(u \in H^2\). Ora \(2 \cdot 2 > 3\), allora, per le immersioni ho \(u \in C^{0,\alpha}\) per il valore giusto di \(\alpha\).

Adesso dimostriamo che prodotto di \(\alpha-\)Holder limitate è \(\alpha-\)Holder.
Infatti \(|f(x)g(x)-f(y)g(y)| \leq |f(x)||g(x)-g(y)|+|g(y)||f(x)-f(y)|\).

Dunque \(u^{8101} \in C^{0,\alpha}\), quindi per Schauder \(u \in C^{2,\alpha}\), ma allora tutte le derivate FINO al secondo ordine sono \(\alpha-\)Holder (perché hanno gradiente limitato, quindi sono Lipschitz ed essendo su un limitato sono quindi Holder).

Ancora per il prodotto di \(\alpha-\)Holder, abbiamo che \(u^{8101} \in C^{2,\alpha}\), quindi \(u \in C^{4,\alpha}\) e ripetendo analogamente si ha \(u \in C^{\infty}\)

[tommy1996q]

Mi sembra che torni tutto. L’unico dubbio (che effettivamente mi sembra non si sia affrontato durante il corso) è come usare esplicitamente le stime di Schauder per guadagnare regolarità.

[Massimo Gobbino]

Eccomi di ritorno. Vedo che è stato un pomeriggio intenso: magari ci fosse questo tipo di interazione durante i corsi! Ma almeno avendo tutto on-line si può interagire dopo. Rispondo ai punti segnalati.

Per quanto riguarda il \(\sin u\), alla lezione 42 sono stato troppo ottimista e ho detto una cosa falsa . Il bootstrap funziona solo fino alla dimensione 4, poi basta. Il problema è nell'implicazione

\(u\in H^k\quad\Longrightarrow\quad\sin u\in H^k\),

la quale vale solo fino alla dimensione 4. La dimostrazione è abbastanza semplice, anche se non ovvia. Come avete osservato, quando uno va a scrivere la formula per la derivata k-esima della composizione, vengono fuori tanti termini, purtroppo anche con potenze elevate delle derivate. La fortuna però è che le derivate più alte compaiono con esponente 1 (e quindi hanno la sommabilità 2), quelle di ordine immediatamente inferiore compaiono con esponente 2, ma fortunatamente stanno in \(L^4\) grazie alle immersioni (e qui serve la dimensione minore o uguale a 4), e tutte le precedenti sono continue (sempre per le immersioni), quindi no problem anche se hanno esponenti esagerati. Torna questo discorso?

[Piccola partentesi: dimostrare che l'implicazione di sopra è falsa in dimensione 5 è un esercizio interessante ...]

Quindi sì, in dimensione minore o uguale a 4 è discesa dopo aver fatto i primi passi, anche se con un po' di fatica (morale: fatica e dimensione bassa aiutano).

Allo stesso modo si tratta la potenza buffa dell'esercizio del compito di prova, ma solo grazie al fatto che l'argomento di troncamento ci ha portato "gratis" in \(L^\infty\). Senza quello restavamo al palo.

Detto questo, possiamo chiederci come si potrebbe fare il sin u in dimensione 2018, o anche 2019 visto che siamo già nel nuovo anno. Apparentemente la teoria \(L^2\) non basta, quindi temo che occorra usare dei cannoni più potenti, come avete già osservato nei post precedenti. Vedo due possibilità.

La prima è usare la teoria \(L^p\). Visto che sin u sta un tutti gli \(L^p\), allora u sta in tutti i \(W^{2,p}\), ma allora sin u sta in tutti gli \(W^{2,p}\) (questo mi sembra vero), e così via per bootstrap.
Occhio che per il singolo p non è vero, cioè l'implicazione

\(u\in W^{k,p}\quad\Longrightarrow\quad\sin u\in W^{k,p}\)

è in generale falsa, quindi è fondamentale l'uso combinato di tutti i p messi insieme. Occhio anche che non esiste una teoria \(L^\infty\), quindi la fatica di far lavorare insieme i vari p va fatta tutta!

La seconda via d'uscita è usare il primo \(L^p\) alto per andare a finire in un \(W^{2,p}\) abbastanza alto da immergersi in qualche \(C^{0,\alpha}\) ed a quel punto si procede per bootstrap con la teoria di Schauder.

Tornano questi due procedimenti?

E l'equazione è solo semi-lineare... Quando diventa quasi-lineare ridiamo davvero

[tommy1996q]

Quindi all’esame possiamo usare anche fatti noti della teoria \(L^p\) e delle stime di Schauder, anche se a lezione non li abbiamo dimostrati?

[Massimo Gobbino]

Quindi all’esame possiamo usare anche fatti noti della teoria \(L^p\) e delle stime di Schauder, anche se a lezione non li abbiamo dimostrati?

Domanda burocratica, risposta burocratica ... Di solito la commissione d'esame si impegna per proporre uno scritto che si possa affrontare (almeno per la quasi totalità) utilizzando solamente gli strumenti che sono stati affrontati nei dettagli durante il corso, e quindi ragionevolmente dimostrati. La commissione di solito cerca anche di evitare che alcune domande si possano "aggirare" ricorrendo a cannoni esagerati di cui lo studente medio in quel momento ignora il funzionamento. Ne segue che è molto probabile che la regolarità si possa fare con la teoria \(L^2\).

Detto questo, poi c'è sempre chi prova/riesce a usare super-cannoni, dei quali poi gli si chiede conto all'orale .

Qui sopra ho voluto mostrare come la teoria \(L^p\) e quella di Schauder possano essere davvero potenti, e finiscano probabilmente per essere l'unico strumento possibile in dimensione alta.

[Massimo Gobbino]

Tra le varie cose istruttive, mi pare che sia rimasta da chiarire la possibilità di ambientare il problema iniziale in \(W^{1,3/2}\).

[T.Sc]

Provo a rispondere alla domanda. Se ho capito ci si chiede se ha senso/si puo' studiare il problema di minimo relativo ad \(F(u)\) in \(W^{1,3/2}\). Non vorrei star commettendo errori marchiani, ma mi verrebbe da dire si': i termini nell'integrale hanno tutti valore positivo e quindi l'integrale ha senso ammettendo che \(F(u)\) possa assumere anche il valore \(+ \infty\).

Inoltre, \(F\) non e' costantemente infinito nella classe di funzioni scelta:la funzione costante \(1\) ad esempio rispetta le condizioni richieste ed ha \(F\) finito. Dato che \(\Omega\) e' limitato, un bound su \(\|\nabla (u)\|_{L^2}\) mi da' un bound su \(\| \nabla(u) \|_{L^{3/2}}\). Adesso nei sottolivelli quindi ho convergenza debole e con immersioni compatte dovrei avere compattezza. Per la SCI mi sembra che la convessita' del funzionale dovrebbe garantire il non avere problemi.

[dalmo]

Visto che si è discusso solo del primo esercizio mi intrometto postando la mia soluzione del terzo esercizio del compito di Natale, più che altro per capire se ci possano essere errori più o meno gravi nel mio ragionamento

[+] Ex_3

PUNTO A:
L' estremo inferiore è un numero reale, per dimostrarlo è sufficiente provare che il problema \(min\{F(u):u\in W^{1,11}_{0}(\Omega)\}\) ammette soluzione. Procediamo a tal fine con il metodo diretto:

Compattezza dei sottolivelli:
Se \(F(u)\le M\) allora \(\int_{\Omega}|u_x|^{25}+|u_y|^{12}+|u_z|^{2018}\le M+\int_{\Omega}|u|^{11}\le M+C\int_{\Omega}|\nabla u|^{11}\) dove l'ultima disuguaglianza si giustifica per Poincarè. Da cui per Holder \(\Vert u_x\Vert^{25}_{L^{25}}-C_1 \Vert u_x\Vert^{\frac{11}{25}}_{L^{25}}+\Vert u_y\Vert^{12}_{L^{12}}-C_2 \Vert u_x\Vert^{\frac{11}{12}}_{L^{12}}+\Vert u_z\Vert^{2018}_{L^{2018}}-C_3 \Vert u_z\Vert^{\frac{11}{2018}}_{L^{2018}}\le M\). Da cui esiste un' altra costante \(M\) tale che \(\Vert u_x \Vert_{L^{25}}\le M; \quad \Vert u_y \Vert_{L^{12}}\le M; \quad \Vert u_x \Vert_{L^{2018}}\le M\). Si conclude (usando di nuovo Holder) che esiste una costante\(M\) tale che \(\Vert \nabla u \Vert_{L^{11}}\le M\) e (nuovamente per Poincarè) \(\Vert u \Vert_{L^{11}} \le M\). Pertanto le funzioni nei sottolivelli (per le stime appena ottenute e per i teoremi di immersione) saranno limitate in norma \(L^{\infty}\) ed equi-holder. Applicando quindi ascoli- arzelà e ricordando che le palle di \(L^{11}\) sono debolmente compatte si conclude che i sottolivelli di \(F\) sono compatti secondo la nozione di convergenza: uniforme delle funzioni, debole \(L^{11}\) delle derivate.

Semicontinuità:
Poichè il liminf della somma di due successioni è maggiore o uguale della somma dei liminf è sufficiente trattare separatamente la parte di derivata e la parte di funzione.
Per la parte di derivata bisogna osservare che lagrangiana \(L(x,s,p_1,p_2,p_3)\) è convessa nelle variabili \(p_1, p_2, p_3\)e che una successione\(\{u_n\}\)convergente debole \(L^{11}\) converge debole \(L^1\), ne segue che per un risultato visto a lezione si ha: \(liminf_{n \to \infty} \int_{\Omega}|(u_n)_x|^{25}+|(u_n)_y|^{12}+|(u_n)_z|^{2018}\ge \int_{\Omega}|(u_{\infty})_x|^{25}+|(u_{\infty})_y|^{12}+|(u_{\infty})_z|^{2018}\). Per la parte di funzione è sufficiente osservare che ogni successione in un sottolivello, a meno di estrarre una sottosuccessione, converge uniformemente, è quindi lecito portare il limite dentro l'integrale.

PUNTO B

L' inf è \(-\infty\), scelta infatti una qualunque \(\phi\in C_c^{\infty}((-1,1))\) poniamo \(u_n(x,y,z)= n\phi(z)\), si ha allora: \(F(u_n)=n^{25}\int_{\Omega}|u_x|^{25}-n^{2000}\int_{\Omega}|u|^{2000}\to \infty\)

PUNTO C
L'inf è \(-\infty\), scelta infatti una qualunque \(u\in C_c^{\infty}(\Omega)\) pongo \(u_n=nu(x)\), si ha allora \(F(u_n)=n^{25}\int_{\Omega}|u_x|^{25}+n^{12}\int_{\Omega}|u_y|^{12}+n^{2018}\int_{\Omega}|u_z|^{2018}-n^{3000}\int_{\Omega}|u|^{3000}\to -\infty\)

[LucaMac]

Dando uno sguardo veloce mi sembra che nel punto b le \(u_n\) non siano a supporto compatto.

[tommy1996q]

Ho modificato la soluzione del primo esercizio in base a quello che è venuto fuori dalla discussione. Colgo l'occasione per chiedere consiglio sul punto b del terzo esercizio e su come provare l'ultimo punto dell'ultimo esercizio (compito di Natale). Grazie in anticipo per l'aiuto!

[tommy1996q]

Com'è che i messaggi di ieri sono stati tutti cancellati?

[Massimo Gobbino]

Com'è che i messaggi di ieri sono stati tutti cancellati?

Urka, non ne ho idea! Sembra tutto tornato indietro di un giorno ... l'unica spiegazione che mi viene in mente è che sia crashato un disco ed i sistemisti abbiano dovuto ripartire dall'ultimo back up. Ora provo ad informarmi .

[Massimo Gobbino]

Conferma

Ok, purtroppo ieri c'e' stato un problema con la macchina virtuale e ho dovuto ripristinare all'ultimo backup utile che era del giorno precedente.
Nonostante vari tentativi non e' stato possibile recuperare gli ultimi dati immessi, mi dispiace.

Possiamo provare a riassumere quanto di utile era emerso nel frattempo.