sviluppo di taylor

[Massimo Gobbino]

lo sviluppo di ordine [tex]2[/tex] è [tex]y^2[/tex], sapendo che è semidefinita positiva posso dire che si tratta lo stesso di un punto di minimo?

Assolutamente no: pensa ai due esempi [tex]x^4+y^2[/tex] e [tex]-x^4+y^2[/tex] (la forma è la stessa, ma il comportamento è diverso).

[Gabe]

Immaginavo, ma quindi come si può fare se abbiamo una forma semidefinita? con il metodo delle rette?

[GIMUSI]

Prendiamo per esempio [tex]f(x, y)=ln(1+x^4+y^2)[/tex], e vogliamo studiare cosa è il punto [tex](0, 0)[/tex],

[tex]H_f(0, 0)= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}[/tex], quindi è semidefinita positiva,

lo sviluppo di ordine [tex]2[/tex] è [tex]y^2[/tex], sapendo che è semidefinita positiva posso dire che si tratta lo stesso di un punto di minimo?

allego un possibile svolgimento per lo studio del punto stazionario con taylor

[Gabe]

Ok, quindi bisogna passare per le forme quadratiche, grazie!

[GIMUSI]

Ok, quindi bisogna passare per le forme quadratiche, grazie!

ma non è una forma quadratica (i termini non sono omogenei, due sono di grado 4 e uno di grado 2)

con taylor vengono fuori i termini di quarto grado che con l'hessiana non si vedono e che permettono di capire come si comporta la funzione nell'intorno del punto stazionario [tex](0,0)[/tex] ([tex]y^2[/tex] è più grande di [tex]y^4[/tex] e quindi il punto è un punto di minimo relativo)

ammesso che lo sviluppo di taylor sia del tutto corretto...ho un piccolo dubbio sul passaggio relativo all'o-piccolo

[Gabe]

Si è vero non lo è, non so come mi sia venuta.

Dici quando fai passare [tex]o((x^4+y^2)^2)[/tex] a [tex]o((x^2+y^2)^2)[/tex]?

[GIMUSI]

Si è vero non lo è, non so come mi sia venuta.

Dici quando fai passare [tex]o((x^4+y^2)^2)[/tex] a [tex]o((x^2+y^2)^2)[/tex]?

esatto...mi pare plausibile che [tex]o((x^4+y^2)^2)[/tex] sia [tex]o((x^2+y^2)^2)[/tex]

ma non saprei come fare per bene il passaggio da l'uno all'altro

[ghisi]

Si è vero non lo è, non so come mi sia venuta.

Dici quando fai passare [tex]o((x^4+y^2)^2)[/tex] a [tex]o((x^2+y^2)^2)[/tex]?

esatto...mi pare plausibile che [tex]o((x^4+y^2)^2)[/tex] sia [tex]o((x^2+y^2)^2)[/tex]

ma non saprei come fare per bene il passaggio da l'uno all'altro

Basta dire che in un intorno dell'origine [tex]x^4+y^2 \leq x^2+y^2.[/tex]

Il modo più rapito di fare l'esercizio in questo caso era osservare che si tratta del [tex]\log(1+qualcosa)[/tex] e quel qualcosa è positivo e si annulla nell'origine che quindi è un punto di minimo.

[nomeutente]

Salve
Ho questo problema: e^(xy) - xy e devo classificare i p.ti stazionari (origine).
La Hf mi viene nulla. Che faccio?

[GIMUSI]

Salve
Ho questo problema: e^(xy) - xy e devo classificare i p.ti stazionari (origine).
La Hf mi viene nulla. Che faccio?

puoi utilizzare lo sviluppo di taylor [tex]e^t[/tex] per t->0

[tex]e^t = 1+t+t^2/2+o(t^2)[/tex]

[tex]e^{xy}-xy =[/tex] [tex]1+xy+x^2y^2+o(x^2y^2)-xy =[/tex][tex]1 + x^2y^2+o((x^2+y^2)^2)[/tex]

da cui puoi concludere che l’origine è un punto di minimo locale

[nomeutente]

In questo caso, quindi, posso ragionare come ad analisi 1
Grazie

[ghisi]

Salve
Ho questo problema: e^(xy) - xy e devo classificare i p.ti stazionari (origine).
La Hf mi viene nulla. Che faccio?

puoi utilizzare lo sviluppo di taylor [tex]e^t[/tex] per t->0

[tex]e^t = 1+t+t^2/2+o(t^2)[/tex]

[tex]e^{xy}-xy =[/tex] [tex]1+xy+x^2y^2+o(x^2y^2)-xy =[/tex][tex]1 + x^2y^2+o((x^2+y^2)^2)[/tex]

da cui puoi concludere che l’origine è un punto di minimo locale

Se fai l'ultimo passaggio NON puoi più concludere nulla, una funzione che verifica [tex]1 + x^2y^2+o((x^2+y^2)^2)[/tex] non ha necessariamente un minimo nell'origine, ad esempio [tex]1 + x^2y^2 - x^5.[/tex]

Se invece ti fermi prima, essendo sostanzialmente una funzione di una variabile (con [tex]o(x^2y^2)[/tex] per intenderci) allora funziona.

[GIMUSI]

Se fai l'ultimo passaggio NON puoi più concludere nulla, una funzione che verifica [tex]1 + x^2y^2+o((x^2+y^2)^2)[/tex] non ha necessariamente un minimo nell'origine, ad esempio [tex]1 + x^2y^2 - x^5.[/tex]

Se invece ti fermi prima, essendo sostanzialmente una funzione di una variabile (con [tex]o(x^2y^2)[/tex] per intenderci) allora funziona.

ecco questi sono i dubbi che ho nei passaggi con l'o-piccolo in più variabili

ma un [tex]x^5[/tex] non verrebbe "mangiato" da [tex]o((x^2+y^2)^2)[/tex]?

[nomeutente]

Credo che l' x^5 nell' esempio della prof sia la stessa cosa del sin y^5 nella lezione 21(mi sembra). Fa cambiare segno, quindi non è max/min ma boh
Ho visto giusto?

[nomeutente]

Nella Scheda p.ti staz. 2 per classificare max/min globali o locali devo sostituire i p.ti nella funzione per vedere le quote o c'è un modo più furbo?