Rette e piani nello spazio 2

[13700]

per determinare la retta risolvo il sistema dei due piani...per il 2° esercizio ottengo (1-4t,2+t,3t)

per la distanza dall'origine scrivo la funzione [tex]d^2(t)[/tex], la minimizzo e trovato t la calcolo

Io l'ho fatto un poco diverso: la retta ha "velocità" (-4,1,3), se prendo un punto P sulla retta e impongo che OP sia perpendicolare alla velocità, dovrei ottenere il segmento di lunghezza minima, no? Cioè devo avere
-4+16t+2+t+9t=0
quindi
26t=2
quindi t=1/13, ovvero P=(9/13, 27/13, 3/13) e dunque la distanza è la radice di (9^2+27^2+3^2)/13^2=9(9+81+1)/13^2=9*91/13^2=9*7/13.

[GIMUSI]

per determinare la retta risolvo il sistema dei due piani...per il 2° esercizio ottengo (1-4t,2+t,3t)

per la distanza dall'origine scrivo la funzione [tex]d^2(t)[/tex], la minimizzo e trovato t la calcolo

Io l'ho fatto un poco diverso: la retta ha "velocità" (-4,1,3), se prendo un punto P sulla retta e impongo che OP sia perpendicolare alla velocità, dovrei ottenere il segmento di lunghezza minima, no? Cioè devo avere
-4+16t+2+t+9t=0
quindi
26t=2
quindi t=1/13, ovvero P=(9/13, 27/13, 3/13) e dunque la distanza è la radice di (9^2+27^2+3^2)/13^2=9(9+81+1)/13^2=9*91/13^2=9*7/13.

mi pare un ottimo metodo alternativo...ti eviti di dover derivare

[Gabe]

Ragazzi una domanda, nell'esercizio 15, trovo che il primo piano ha equazione z+2=0 e il secondo x+y-2=0, e il coseno dell'angolo = 0, quindi sono perpendicolari tra di loro. A questo punto devo mettere a sistema queste due equazioni per trovare la retta d'intersezione, ma come faccio?

[GIMUSI]

Ragazzi una domanda, nell'esercizio 15, trovo che il primo piano ha equazione z+2=0 e il secondo x+y-2=0, e il coseno dell'angolo = 0, quindi sono perpendicolari tra di loro. A questo punto devo mettere a sistema queste due equazioni per trovare la retta d'intersezione, ma come faccio?

risolvendo il sistema ottenuto dalla equazioni cartesiane dei due piani si ottiene

[tex]z=-2[/tex]

[tex]y=2-x[/tex]

allora il generico punto appartenente alla retta intersezione dei due piani risulta

[tex]P=(t,2-t,-2)[/tex]

da cui

[tex]r: (0,2,-2)+t(1,-1,0)[/tex]

un altro metodo è il seguente

il vettore v della retta è ortogonale alle due normali dei piani

[tex]n_1=(0,0,1)[/tex]

[tex]n_2=(1,1,0)[/tex]

determinato [tex]v[/tex] e noto un punto [tex]P_0[/tex] di passaggio della retta si ottiene l’equazione parametrica:

[tex]r: P_0+vt[/tex]

in questo caso il primo metodo mi pare più rapido (per trovare un [tex]P_0[/tex] devi risolvere il sistema)

PS rifacendo i conti mi sono accorto di aver commesso un errore nella determinazione della distanza della retta dall’origine che dovrebbe essere

[tex]\sqrt6[/tex]

[Gabe]

Ok, supponiamo di avere questa retta: r: (0,2,-2)+t(1,-1,0), la retta perpendicolare passante per l origine la posso trovare cosi: (0,0,0)+t(1,1,0)? dicendo che (1,1,0) e perpendicolare a (1,-1,0) e facendola passare da (0,0,0)?

[GIMUSI]

Ok, supponiamo di avere questa retta: r: (0,2,-2)+t(1,-1,0), la retta perpendicolare passante per l origine la posso trovare cosi: (0,0,0)+t(1,1,0)? dicendo che (1,1,0) e perpendicolare a (1,-1,0) e facendola passare da (0,0,0)?

nessuno ti assicura che [tex](0,0,0)+t(1,1,0)[/tex] intersechi la retta [tex]r[/tex] (infatti non la interseca perché dovrebbe risultare [tex]z=-2[/tex])

credo che il metodo più efficiente nel caso in esame sia quello segnalato qui nel thread da "13700"

il generico punto [tex]P \in r[/tex] ha coordinate

[tex]P=(t,2-t,-2)[/tex]

questo rappresenta anche il generico vettore [tex]OP[/tex] tra l'origine e la retta [tex]r[/tex]

per trovare il punto di minima distanza basta imporre che [tex]OP[/tex] sia ortogonale a [tex]v=(1,-1,0)[/tex], si ottiene

[tex]t-2+t=0[/tex]

[tex]2t=2[/tex]

[tex]t=1[/tex]

quindi il punto di minima distanza dall'origine è [tex](1,1,-2)[/tex] che ha modulo [tex]\sqrt6[/tex]

[Gabe]

nessuno ti assicura che [tex](0,0,0)+t(1,1,0)[/tex] intersechi la retta [tex]r[/tex] (infatti non la interseca perché dovrebbe risultare [tex]z=-2[/tex])

C'è un modo per vedere a occhio che deve essere z=-2?
Poi volevo chiederti un altra cosa, supponiamo di avere questa retta r1: (0,1,0)+t(1,0,0) e questo punto (2,1,3) se volessi trova la retta r2 che passa da quel punto e perpendicolare alla retta r1 devo trovare il generico punto appartenente alla retta r1 (t,1,0) per poi scrivere il segmento (retta) (2,1,3)+t(t-2,0,-3) .
A questo punto pero come faccio per ottenere la retta r2?

Grazie mille in anticipo e buona pasqua a te e al resto del forum.

[GIMUSI]

C'è un modo per vedere a occhio che deve essere z=-2?

basta osservare che il generico punto appartenente alla retta intersezione dei due piani risulta

[tex]P=(t,2-t,-2)[/tex]

quindi per tutti i punti di la coordinata [tex]z=-2[/tex] è fissa (uno dei due piani infatti è proprio [tex]z+2=0[/tex])

[GIMUSI]

Poi volevo chiederti un altra cosa, supponiamo di avere questa retta r1: (0,1,0)+t(1,0,0) e questo punto (2,1,3) se volessi trova la retta r2 che passa da quel punto e perpendicolare alla retta r1 devo trovare il generico punto appartenente alla retta r1 (t,1,0) per poi scrivere il segmento (retta) (2,1,3)+t(t-2,0,-3) .
A questo punto pero come faccio per ottenere la retta r2?

indichiamo con [tex]P[/tex] il punto [tex](2,1,3)[/tex] e con [tex]v_1=(1,0,0)[/tex] il vettore direzione della retta [tex]r_1[/tex]

il generico punto appartenente alla retta [tex]r_1[/tex] è [tex]Q=(t,1,0)[/tex]

il vettore tra i due punti risulta [tex]PQ=Q-P=(t-2,0,-3)[/tex]

imponendo che [tex]PQ[/tex] sia perpendicolare a [tex]v_1[/tex] si ottiene: [tex]t-2=0[/tex] e quindi [tex]t=2[/tex]

allora il vettore direzione della retta perpendicolare risulta [tex]v_2=(0,0,-3)[/tex]

e la retta [tex]r_2: (2,1,3)+s(0,0,-3)[/tex]

[tex]r_1[/tex] e [tex]r_2[/tex] sono perpendicolari infatti: [tex]v_1*v_2=0[/tex] e si intersecano in [tex]Q=(2,1,0)[/tex]

Grazie mille in anticipo e buona pasqua a te e al resto del forum.

grazie tanti auguri anche da parte mia

[Un'autodidatta]

Abbi pazienza: spiegami il metodo che usi per trovare la retta d'intersezione tra 2 piani (facendomi un esempio) e poi come calcoli la distanza dall'origine...

per determinare la retta risolvo il sistema dei due piani...per il 2° esercizio ottengo (1-4t,2+t,3t)

per la distanza dall'origine scrivo la funzione [tex]d^2(t)[/tex], la minimizzo e trovato t la calcolo

Mi aggrego a questo vecchio topic sperando ci sia ancora qualcuno.

Ciao GIMUSI, ho trovato tre modi di calcolare la distanza della retta di intersezione tra i piani dati e l'origine, ma il modo usato da te non mi è chiaro.
In particolare non capisco il ragionamento per determinare il parametro t. Mi riferisco in particolare all'esercizio 8 da te postato.

Se ho capito bene calcoli la derivata del modulo quadro della distanza tra l'origine ed un punto P che ha come coordinate quelle della retta di intersezione tra i piani.

Non mi è chiaro come mai questo metodo funziona, non capisco come mai la derivata funzioni. Saresti così gentile da spiegarmi un po' l'idea alla base, per favore?

Ora, caro GIMUSI, eri qui 8 anni fa e non credo tu sia ancora presente, magari qualcun'altro può illuminrmi?

Allego lo svolgimento dell'esercizio 8 fatto da me, per goliardia.

[GIMUSI]

Scusa ma non avevo visto la notifica di questo vecchio messaggio e, ultimamente frequento meno il blog! L'idea è quella di identificare, tramite la derivata, il minimo della lunghezza del segmento congiungente origine e generico punto sulla retta intersezione, che è proprio la distanza.