Integrale improprio divergente

[Federico.M]

Salve, mi sono trovato a risolvere questo esercizio e volevo sapere se lo svolgimento è corretto.
Devo stabilire se l'integrale improprio della funzione data converge assolutamente su \(R^2\):
\(f(x,y)=e^{x^2-y^2}\)
1) Osservazioni preliminari:
\(f(x,y)\) è definita su tutto \(R^2\) ed è ovunque \(f(x,y)>0\). Per motivi di simmetria, essendo la funzione data pari in entrambe le variabili, è sufficiente studiare la convergenza del suo integrale sul solo I\(^{\circ}\) quadrante, poiché si comporta in maniera identica sugli altri tre. L'integrale presenta, dunque, un problema " all'infinito ", essendo l'insieme di integrazione illimitato.
2) Svolgimento:
Sia dunque \(B=\bigl\{(x,y)\in R^2\colon x\ge0,\,y\ge0\bigr\}\), allora si distinguono due casi:
Primo caso :
per \(x\ge y\) l'insieme di integrazione si riduce a \(C_1=\bigl\{(x,y)\in R^2\colon x-y\ge0,\,x\ge0,\,y\ge0\bigr\}=\bigl\{(\rho,\theta)\in R^2\colon\rho\ge0,\,0\le\theta\le\pi/4\bigr\}\) e per la funzione integranda vale la relazione
\(f(x,y)=\frac{e^{x^2}}{e^{y^2}}\ge1\)
per cui abbiamo
\(\iint_{C_1}e^{x^2-y^2}\,dx\,dy\ge\iint_{C_1}\,dx\,dy=\lim_{a\to +\infty}\int_0^a\rho\,d\rho\int_0^{\pi/4}\,d\theta=\lim_{a\to +\infty}\frac{\pi}{8}a^2=+\infty\)
Secondo caso :
per \(x\le y\) l'insieme di integrazione diventa \(C_2=\bigl\{(x,y)\in R^2\colon x-y\le0,\,x\ge0,\,y\ge0\bigr\}=\bigl\{(\rho,\theta)\in R^2\colon\rho\ge0,\,\pi/4\le\theta\le\pi/2\bigr\}\) e vale la relazione
\(0<f(x,y)=\frac{e^{x^2}}{e^{y^2}}\le1\)
Essendo dunque la funzione positiva, segue che il suo integrale su \(C_2\) o converge o diverge a \(+\infty\). In ogni caso, data la divergenza già verificata su \(C_1\), esso non modifica il comportamento dell'integrale sull'insieme \(B\) di partenza.
3) Conclusioni:
Complessivamente, dunque, l'integrale dato non converge.

Grazie in anticipo per correzioni e suggerimenti.

[Lorececco]

Prima di svolgere un esercizio, un suggerimento sempre valido è quello di fermarsi un attimo a guardare cosa si ha davanti. C'è un \(e^{x^2}\) che diverge con prepotenza (neanche è limitato)! Come si aggiusta questa osservazione? Ci mettiamo in una fascia orizzontale, ad esempio \(1\leq y\leq 2\), in modo che il pezzo \(e^{-y^2}\) non dia fastidio: a questo punto \(f(x,y)\geq e^{x^2-4}\) e lei diverge, quindi \(f\) diverge sulla striscia, quindi diverge ovunque

[Federico.M]

Ciao Lorececco, in effetti le tue considerazioni sono molto più rapide ed efficaci. Grazie per il suggerimento e la correzione...