Orientazione di una superficie

[Federico.M]

Salve, mi trovo a risolvere il seguente esercizio:
Calcolare l'integrale della funzione \(f(x,y,z)=1\) sul dominio dato \(\Omega\) assegnato mediante una caratterizzazione del suo bordo:
\(\partial{\Omega}=\bigl\{\bigl(\sin(t),\,\cos(v),\,\cos^3(t)\bigr),\,\,(t,v)\in[0,\,2\pi]\times[0,\,\pi]\bigr\}\cup\bigl\{y=1\bigr\}\cup\bigl\{y=-1\bigr\}\)
Nello svolgere l'esercizio, il risultato ottenuto è di segno opposto a quello indicato dal testo, pertanto ho pensato che l'orientazione della normale alla superficie del dominio \(\Omega\) fosse opposta a quella convenzionalmente riconosciuta come positiva.
A questo punto mi chiedevo se fosse possibile intuire il verso della normale a partire dalla parametrizzazione assegnata. In questo caso, ad esempio, l'intersezione del dominio \(\Omega\) con il piano \(y=0\) genera una curva il cui sostegno è percorso in senso orario e, quindi, opposto a quello riconosciuto come positivo. Stando così le cose, è possibile che anche la normale alla superficie curva che delimita \(\Omega\), calcolata attraverso la matrice jacobiana
\(J(t,v)=\begin{pmatrix}
x_t & y_t & z_t\\
x_v & y_v & z_v
\end{pmatrix}\)
ed i suoi minori \(M_1\), \(M_2\) e \(M_3\), sia orientata in direzione opposta a quella cercata, cioè verso l'interno di \(\Omega\) ?
Nel caso la mia osservazione fosse giusta, è corretto in generale un approccio di questo tipo ?
Ringrazio in anticipo per eventuali chiarimenti, correzioni e suggerimenti.

[ghisi]

Il problema del tuo approccio è che quale è il verso di percorrenza positivo del bordo dipende da "dove si trova la superficie" rispetto al bordo. Nel caso specifico si tratta di un "cilindro" con asse \(y\) (non è esattamente un cilindro perchè le sezioni a \(y\) fisso non sono cerchi). E' quindi abbastanza facile capire come deve essere orientata la normale esterna sulla superficie laterale (sui due coperchi è ovvio): quando \(x\) e \(z\) sono positive deve avere componenti \(x\) e \(z\) positive. A questo punto basta scegliere valori dei parametri per cui sei in queste condizioni e controllare dove "punta la normale".

[Federico.M]

Grazie per le precisazioni e le indicazioni professoressa Ghisi. Allego file con soluzione dell'esercizio dove faccio uso dei suoi suggerimenti...

[ghisi]

E' corretto.

[Federico.M]

Riguardando l'esercizio ho scoperto un errore nel calcolo dell'integrale finale. Allego file con correzione... Chiedo scusa..