Orientazione di una superficie

Curve e superfici, forme differenziali, integrali su curve e superfici, divergenze, rotori, Gauss-Green e Stokes
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Federico.M
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Orientazione di una superficie

Post by Federico.M »

Salve, mi trovo a risolvere il seguente esercizio:
Calcolare l'integrale della funzione f(x,y,z)=1 sul dominio dato Ω assegnato mediante una caratterizzazione del suo bordo:
Ω={(sin(t),cos(v),cos3(t)),(t,v)[0,2π]×[0,π]}{y=1}{y=1}
Nello svolgere l'esercizio, il risultato ottenuto è di segno opposto a quello indicato dal testo, pertanto ho pensato che l'orientazione della normale alla superficie del dominio Ω fosse opposta a quella convenzionalmente riconosciuta come positiva.
A questo punto mi chiedevo se fosse possibile intuire il verso della normale a partire dalla parametrizzazione assegnata. In questo caso, ad esempio, l'intersezione del dominio Ω con il piano y=0 genera una curva il cui sostegno è percorso in senso orario e, quindi, opposto a quello riconosciuto come positivo. Stando così le cose, è possibile che anche la normale alla superficie curva che delimita Ω, calcolata attraverso la matrice jacobiana
J(t,v)=(xtytztxvyvzv)
ed i suoi minori M1, M2 e M3, sia orientata in direzione opposta a quella cercata, cioè verso l'interno di Ω ?
Nel caso la mia osservazione fosse giusta, è corretto in generale un approccio di questo tipo ?
Ringrazio in anticipo per eventuali chiarimenti, correzioni e suggerimenti.
Federico

ghisi
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Re: Orientazione di una superficie

Post by ghisi »

Il problema del tuo approccio è che quale è il verso di percorrenza positivo del bordo dipende da "dove si trova la superficie" rispetto al bordo. Nel caso specifico si tratta di un "cilindro" con asse y (non è esattamente un cilindro perchè le sezioni a y fisso non sono cerchi). E' quindi abbastanza facile capire come deve essere orientata la normale esterna sulla superficie laterale (sui due coperchi è ovvio): quando x e z sono positive deve avere componenti x e z positive. A questo punto basta scegliere valori dei parametri per cui sei in queste condizioni e controllare dove "punta la normale".

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Federico.M
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Re: Orientazione di una superficie

Post by Federico.M »

Grazie per le precisazioni e le indicazioni professoressa Ghisi. Allego file con soluzione dell'esercizio dove faccio uso dei suoi suggerimenti... :)
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Esercizio 14.pdf
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Federico

ghisi
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Re: Orientazione di una superficie

Post by ghisi »

E' corretto.

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Federico.M
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Re: Orientazione di una superficie

Post by Federico.M »

Riguardando l'esercizio ho scoperto un errore nel calcolo dell'integrale finale. Allego file con correzione... Chiedo scusa.. :(
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Esercizio 14 corretto.pdf
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Federico

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