ultimo esercizio di Disequazioni 7 (Test n°20)

[Nino61]

Non riesco a risolvere questo ultimo esercizio. Ho svolto tutti gli altri fino a questo e pensavo di aver oramai una certa dimestichezza ed eccomi qui bloccato. E' frustrante. Qualcuno mi può aiutare?

[Massimo Gobbino]

Beh, intanto riscrivo la disequazione, così è più comodo per tutti:

\(\log_5\left(\sqrt{4-x}-2^x\right)>0\)

Ora si tratta di osservare che per x=0 vale l'uguaglianza, per x>0 si ha che

\(\sqrt{4-x}-2^x<2-2^x<1\)

dunque il logaritmo non può essere positivo. Per x<0, infine, vale che

\(\sqrt{4-x}-2^x>2-2^x>1\)

quindi la disuguaglianza data è verificata perché l'argomento del logaritmo è maggiore di 1.

Il problema (inizialmente) è farsi venire in mente questo procedimento. D'altra parte, gli ultimi esercizi di ogni sezione servono proprio a questo, cioè per far vedere quanto si può fare quando si esce dagli schemi, e non ci si limita solo ad applicare bovinamente degli algoritmi di risoluzione (che fino a quel punto sono andati benissimo).

Nota bene: ciascuna delle disuguaglianze che ho scritto, da sola, è sostanzialmente banale. Accoppiandone 2 si ottiene già un esercizio di una certa complessità. Spesso in matematica, per andare da A a B, bisogna passare per una quindicina di posti incogniti. Ciascuno degli spostamenti non è difficile di suo; quello che è difficile è vedere la via.

[Nino61]

Grazie professore.
Una grande lezione: bisogna vedere le cose con occhi nuovi e non applicare i soliti schemi. Però, è difficilissimo. La soluzione è bella, semplice ed elegante ..... quando qualcuno te la fà vedere.

[Tommaso]

Buonasera, e grazie per le delucidazioni;
ho, però ancora un dubbio: Il 2-2^x centrale alle due disuguaglianze che significato ha (ovvero com'è stato ottenuto)?

[Tommaso]

Grazie mille in anticipo, per i futuri chiarimenti!

[Massimo Gobbino]

Il 2-2^x centrale alle due disuguaglianze che significato ha (ovvero com'è stato ottenuto)?

Mettendo x=0 nella radice.

[Tommaso]

Grazie mille!
Colgo l'occasione per un'altra domanda: come mai si pone x=0 solo sotto radice ? Affinché la disequazione sia verificata, comprendo che l'argomento del logaritmo debba 'essere >1, vorrei però capire perché le disuguaglianze si impostano in quel modo. Grazie in anticipo

[Tommaso]

Grazie mille!
Colgo l'occasione per un'altra domanda: come mai si pone x=0 solo sotto radice ? Affinché la disequazione sia verificata, comprendo che l'argomento del logaritmo debba 'essere >1, vorrei però capire perché le disuguaglianze si impostano in quel modo.

Spero qualcuno possa aiutarmi a risolvere questo dubbio;
grazie in anticipo.

[GIMUSI]

Grazie mille!
Colgo l'occasione per un'altra domanda: come mai si pone x=0 solo sotto radice ? Affinché la disequazione sia verificata, comprendo che l'argomento del logaritmo debba 'essere >1, vorrei però capire perché le disuguaglianze si impostano in quel modo.

Spero qualcuno possa aiutarmi a risolvere questo dubbio;
grazie in anticipo.

Il metodo presentato dal prof. Gobbino è molto elegante e furbo, infatti permette di determinare la soluzione senza dover determinare in dettaglio il campo di esistenza della diseguaglianza (cioè i valori per cui è definita).

L'idea, mi pare, sia innanzitutto quella di dividere il problema in tre parti, ossia studiare le soluzioni separatamente per:
- x = 0 (banale)
- x > 0
- x < 0

Se ho capito bene, il tuo dubbio riguarda l'uso di x=0 nello studio dei due casi non banali.

Se è così, provo a dettagliare i vari passaggi del ragionamento che credo sia stato fatto:

Caso 1: x>0: sappiamo che \(\sqrt{4-x}<2\) (basta farne il grafico), quindi

\(\sqrt{4-x}-2^x<2-2^x\)

inoltre \(2^x>1\), quindi

\(2-2^x<1\)

e mettendo tutto insieme

\(\sqrt{4-x}-2^x<2-2^x<1\)

NB l'efficienza di questo approccio sta nel non soffermarsi nei dettagli, ci basta sapere che l'espressione per x>0 è minore di 1 e questo basta per escluderla dalle possibili soluzioni

Caso 2: x<0: si procede analogamente.