Curva non semplice

[Federico.M]

Salve, mi trovo a risolvere il seguente esercizio ma sono arrivato ad un punto morto e non riesco a proseguire.
Sia data la curva \(\gamma(t) : (t^2+t,\sin^2(t))\) per \(-\pi\le t\le \pi\). Verificare se la curva data è chiusa e semplice.
Essendo \(\gamma(-\pi):\,(\pi^2-\pi,0)\) e \(\gamma(\pi):\,(\pi^2+\pi,0)\), la curva non è chiusa.
Il problema sorge quando si va a verificare se la curva è semplice. Applicando la strategia della definizione negata, come da appunti del professor Gobbino, io trovo che la curva " sembra " essere semplice, tuttavia il testo ed il grafico della curva indicano che non lo è. Dove è l'errore ? Quale è la strategia giusta per risolvere l'esercizio ? Grazie in anticipo per eventuali suggerimenti e correzioni.
Allego file con svolgimento dell'esercizio..

[Massimo Gobbino]

Beh, in realtà basta trovare due punti diversi in cui la curva assume lo stesso valore, ad esempio

[+] punti_magici

\(\gamma\left(\dfrac{\pi-1}{2}\right)=\gamma\left(\dfrac{-\pi-1}{2}\right)\)

Sostituire per credere

Il problema (uno potrebbe dire) è come farsi venire in mente due punti strani del genere.

Basta procedere bovinamente come nella definizione negata . Imponendo l'uguaglianza delle prime componenti

\(t^2+t=s^2+s\)

troviamo, oltre al caso banale, t=s, anche il caso

\(t+s+1=0\)

Ricavando s e sostituendo nelle seconde componenti otteniamo l'equazione (che fine ha fatto il segno meno?)

\(\sin^2 t=\sin^2(t+1)\)

Già in questo momento, pensando ai grafici di LHS e RHS, appare in tutta evidenza che ci sono valori di t (diversi da \(-1/2\)) per cui vale l'uguaglianza (ma perché questo non ci piace quel valore?). Se vogliamo trovarne uno esplicito, con un po' di precorso imponiamo

[+] precorso

\(t=\pi-(t+1)\)

ed ecco svelato l'arcano

[Federico.M]

Grazie per i suggerimenti professor Gobbino… Ha perfettamente ragione (.. come era naturale che fosse ). I due valori da lei indicati si possono ricavare anche dai calcoli che avevo svolto in precedenza, basta considerare il caso non banale in cui \(t=-1-s\) annulla la prima equazione. Sostituendo poi nella seconda otteniamo \(\sin(-1)\sin(-1-2s)=\sin(1)\sin(1+2s)=0\), da cui otteniamo \(1+2s=k\pi\)
Scegliendo, ad esempio, per \(k\) il valore \(1\), otteniamo \(s=\frac{\pi-1}{2}\) e \(t=\frac{-\pi-1}{2}\)
Nel caso scegliessimo per il valore \(k=0\), otterremmo \(s=t=-1/2\) e, quindi, saremmo ancora nel caso banale scartato in partenza.
Il segno \(-\), come indica nel suo svolgimento, sparisce per la disparità della funzione seno elevata successivamente al quadrato.