dubbi sviluppo di taylor

[M.A.L]

Salve ho un dubbio su sullo svolgimento di un esercito del genere sin(x^2+y^3) sviluppato intorno a (0,0) e stabilire se l'origine è max min locale.
se ho capito bene Se ho lo sviluppo di una funzione , devo guardare se c'è o meno il termine del primo ordine: se c'è, allora il gradiente calcolato nell'origine non è nullo, quindi non è stazionario; se non c'è, allora avviene il contrario ma se è stazionario come dico se è di max/min locale? grazie

[M.A.L]

posso provare con delle curve vicino al punto e vedere come si comporta?

[M.A.L]

adesso allego un file contenente alcuni esercizi che ho provato a fare... quelli su cui ho avuto più difficoltà e su cui credo di aver fatto errori sono (a parte qualcuno su max/min su insiemi limitati )gli ultimi su matrice hessiana e sviluppi. Però aspetto la correzione per capire meglio gli errori che faccio grazie e buona serata

[M.A.L]

ecco il file

[GIMUSI]

Limitatamente agli ultimi esercizi, mi pare che le tue soluzioni siano corrette.

Quando il test con la Hessiana non funziona, bisogna tentare con "percorsi" o altri metodi.

Te ne propongo un altro

\(\sin (2x^4+y^2-3yx^2)\)

[ghisi]

adesso allego un file contenente alcuni esercizi che ho provato a fare... quelli su cui ho avuto più difficoltà e su cui credo di aver fatto errori sono (a parte qualcuno su max/min su insiemi limitati )gli ultimi su matrice hessiana e sviluppi. Però aspetto la correzione per capire meglio gli errori che faccio grazie e buona serata

Ecco le correzioni

[ghisi]

posso provare con delle curve vicino al punto e vedere come si comporta?

Si però occhio: se trovi curve diverse su cui hai un comportamento diverso (es. su una nel punto ha max e sull'altra nel punto ha min) è facile, altrimenti può essere più complesso (ad esempio se hai \(f(x,y) = x^4 + y^4 + o((x^2+y^2)^2)\) allora devi dimostrare (ad esempio usando le polari) che la funzione è positiva in un intorno dell'origine.

[M.A.L]

Grazie per le correzioni ho alcune domande :
- nei primi esercizi quando ho detto che inf era un determinato valore come dovrei impostare la stima dal basso?(non mi è molto chiaro)
-in un altro esercizio mi ha scritto che la matrice hessiana mi esclude solo i punti di max perchè non basta come dimostrazione
-infine quando ho gli o-piccoli non ho capito bene come gestirli

[ghisi]

Grazie per le correzioni ho alcune domande :
- nei primi esercizi quando ho detto che inf era un determinato valore come dovrei impostare la stima dal basso?(non mi è molto chiaro)

Per dimostrare che un certo valore è l'inf di una funzione devi dimostrare che ti "avvicini a quel valore quanto vuoi" e che non puoi mai "passare sotto". La prima parte l'hai fatta con il limite ma devi dimostrare la seconda. Ad esempio l'inf su \(R\) di \(\arctan x\) è \(-\pi/2\) perchè il limite per \(x\rightarrow - \infty\) è
\(-\pi/2\) e \(\arctan x \geq -\pi/2\) sempre (anzi la stima è stretta quindi si tratta di un inf e non di un minimo).

-in un altro esercizio mi ha scritto che la matrice hessiana mi esclude solo i punti di max perchè non basta come dimostrazione

Un punto che non è di massimo può essere un minimo oppure una sella (altro stazionario se preferisci). Se un autovalore della matrice Hessiana è nullo (matrice solo semidefinita) dalla matrice Hessiana non puoi dedurre altro. Esempi \(x^2 + y^4\) e \(x^2 - y^4\). Devi usare altri metodi (calcolo su curve, stime...)

-infine quando ho gli o-piccoli non ho capito bene come gestirli

Il problema è che sbagli a mettere gli o-piccoli presi dagli sviluppi in una variabile. Ad esempio \(\sin z = z + o(z^2)\) quindi \(\sin (x^2 + y^3) = x^2 + y^3 + o((x^2 + y^3)^2)\) e non alla potenza quarta. Ovviamente devi saper gestire bene gli sviluppi in una variabile (ad esempio quale è lo sviluppo di \(\sin (x + x^3)\) di ordine 3?)