Aiuto integrale con coordinate polari semplice

[lRninG]

Ho il seguente integrale che purtroppo non riesco a risolvere anche se molto semplice:




La soluzione proposta utilizza le coordinate sferiche.

Ho pensato invece di risolverlo in un altro modo (con le coordinate polari) che mi sembra corretto, ma la soluzione non torna. Volevo sapere se potreste individuare il o i miei errori.

Ho pensato di suddividere il grafico in due zone (verde e gialla):




Perdonate le immagini, gli integrali li scrivo in Latex:
Con $r=\rho$
Per la zona gialla ho pensato : $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}[\int_{0}^{\sqrt{3}} (\int_{1}^{\sqrt{4-\rho^2}} \rho^3\cdot cos\theta sin\theta dz ) d\rho ] d\theta=0,4416$

Il che si somma alla zona verde : $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}[\int_{0}^{1} (\int_{1}^{\sqrt{4-z^2}} \rho^3\cdot cos\theta sin\theta d\rho ) dz ] d\theta=1,566$

Sommati i due contribuiti (ho calcolato gli integrali col calcolatore e dovrebbero essere esatti), purtroppo risulta ben lontano dalla soluzione che sarebbe invece $\frac{251}{40}$.

[ghisi]

Ho il seguente integrale che purtroppo non riesco a risolvere anche se molto semplice:
Perdonate le immagini, gli integrali li scrivo in Latex:
Con $r=\rho$
Per la zona gialla ho pensato : $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}[\int_{0}^{\sqrt{3}} (\int_{1}^{\sqrt{4-\rho^2}} \rho^3\cdot cos\theta sin\theta dz ) d\rho ] d\theta=0,4416$

Il che si somma alla zona verde : $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}[\int_{0}^{1} (\int_{1}^{\sqrt{4-z^2}} \rho^3\cdot cos\theta sin\theta d\rho ) dz ] d\theta=1,566$

Sommati i due contribuiti (ho calcolato gli integrali col calcolatore e dovrebbero essere esatti), purtroppo risulta ben lontano dalla soluzione che sarebbe invece $\frac{251}{40}$.

Il problema è che il primo integrale non è sulla zona gialla, ma solo su una parte. Prova a farlo come normale rispetto all'asse z. Per il resto: a me non piace proprio la scrittura dei risultati con la virgola, danno sempre l'impressione di essere approssimati e non calcolati come si deve....

[lRninG]

Ciao e grazie per la risposta.. Scusa ma proprio non capisco, a me sembra di aver integrato per primo rispetto a $z$ e di aver integrato su tutta la zona gialla.. Infatti una volta integrato il $dz$ mi rimane $\frac{1}{2}\int_{0}^{\sqrt{3}} \rho(\sqrt{4-\rho^2}-1)d\rho =0,4416$

[ghisi]

Ciao e grazie per la risposta.. Scusa ma proprio non capisco, a me sembra di aver integrato per primo rispetto a $z$ e di aver integrato su tutta la zona gialla.. Infatti una volta integrato il $dz$ mi rimane $\frac{1}{2}\int_{0}^{\sqrt{3}} \rho(\sqrt{4-\rho^2}-1)d\rho =0,4416$

Sorry, avevo letto fra 1 e $\sqrt{3}$. Proverò a fare il conto e ti farò sapere (non stasera); ma scusa dove hai torvato questi esercizi (che tra l'altro usano notazioni non standard?)

[lRninG]

Grazie mille gentilissimo per l'aiuto, veramente non so più a chi chiedere.. Li ho trovati su un PDF di un professore che ho seguito per dare anche analisi 1.. ho lo svolgimento (usa un altro metodo) ma i risultati non coincidono purtroppo.. Grazie ancora!

[lRninG]

Ciao e grazie per la risposta.. Scusa ma proprio non capisco, a me sembra di aver integrato per primo rispetto a $z$ e di aver integrato su tutta la zona gialla.. Infatti una volta integrato il $dz$ mi rimane $\frac{1}{2}\int_{0}^{\sqrt{3}} \rho(\sqrt{4-\rho^2}-1)d\rho =0,4416$

Sorry, avevo letto fra 1 e $\sqrt{3}$. Proverò a fare il conto e ti farò sapere (non stasera); ma scusa dove hai torvato questi esercizi (che tra l'altro usano notazioni non standard?)

Visto l'altro esercizio, ti allego la soluzione del prof., anche se in questo caso mi sembra esatta...

[ghisi]

Ciao e grazie per la risposta.. Scusa ma proprio non capisco, a me sembra di aver integrato per primo rispetto a $z$ e di aver integrato su tutta la zona gialla.. Infatti una volta integrato il $dz$ mi rimane $\frac{1}{2}\int_{0}^{\sqrt{3}} \rho(\sqrt{4-\rho^2}-1)d\rho =0,4416$

Sorry, avevo letto fra 1 e $\sqrt{3}$. Proverò a fare il conto e ti farò sapere (non stasera); ma scusa dove hai torvato questi esercizi (che tra l'altro usano notazioni non standard?)

Visto l'altro esercizio, ti allego la soluzione del prof., anche se in questo caso mi sembra esatta...

E' certamente il metodo più veloce per fare l'esercizio ma (mi pare) c'è un errore nel conto finale: mettendo insieme i due pezzi si ha 32/15 - 1/8.

[lRninG]

Non so come ho fatto a non vederlo. Grazie infinite!!!