Proiezioni ortogonali di un sottospazio

[tommaso_bocchi]

Buongiorno professore, non mi è molto chiaro un ragionamento riguardo le proiezioni ortogonali dei sottospazi e vorrei appurare se effettivamente ho capito oppure no.

Mi spiego meglio: un esercizio mi chiede di calcolare le proiezioni ortogonali di un sottospazio W rispetto ad una base strana, diversa da quella canonica. Ora so che una volta calcolata una base ortogonale di W, la matrice che ha per colonne i vettori della base corrispondono alle proiezioni di W e W ortogonale sulla base canonica. Corretto?

A questo punto, a ragionamento, mi pare ovvio dovere utilizzare una matrice di cambio di base che trasformi le proiezioni dalla canonica alla strana; basterà quindi scrivere i vettori della base strana in colonna ed invertire la matrice ottenuta.

Chiamiamo M la matrice di cambio base e A1 e A2 le matrici delle proiezioni rispettivamente di W e W ortogonale.

A questo punto per i calcolo delle proiezioni rispetto alla base strana procedo calcolando A1M^(-1) e A2M^(-1). Giusto?

Grazie.

[Massimo Gobbino]

BMi spiego meglio: un esercizio mi chiede di calcolare le proiezioni ortogonali di un sottospazio W rispetto ad una base strana, diversa da quella canonica. Ora so che una volta calcolata una base ortogonale di W, la matrice che ha per colonne i vettori della base corrispondono alle proiezioni di W e W ortogonale sulla base canonica. Corretto?

Vedo che nessuno sta rispondendo, e probabilmente la ragione è che queste righe citate sono del tutto misteriose e non si capiscono molto .

Che cosa sono "le proiezioni ortogonali di un sottospazio W" ? Che cosa sono "le proiezioni di W e W ortogonale sulla base canonica" ?

Forse se espliciti l'esercizio qualcuno potrà intervenire a ragion veduta.

[tommaso_bocchi]

BMi spiego meglio: un esercizio mi chiede di calcolare le proiezioni ortogonali di un sottospazio W rispetto ad una base strana, diversa da quella canonica. Ora so che una volta calcolata una base ortogonale di W, la matrice che ha per colonne i vettori della base corrispondono alle proiezioni di W e W ortogonale sulla base canonica. Corretto?

Vedo che nessuno sta rispondendo, e probabilmente la ragione è che queste righe citate sono del tutto misteriose e non si capiscono molto .

Che cosa sono "le proiezioni ortogonali di un sottospazio W" ? Che cosa sono "le proiezioni di W e W ortogonale sulla base canonica" ?

Forse se espliciti l'esercizio qualcuno potrà intervenire a ragion veduta.

Grazie per la risposta professore,

la domanda che ho citato non è chiara perchè ho provato a pormela autonomamente.

Rileggendola adesso l'ho trovata strana anche io.

Credo però di aver capito il mio errore: tutto lo spazio ad esempio è definibile come somma diretta di un sottospazio W ed il suo ortogonale, pertanto se abbiamo un vettore x questo è uguale alla combinazione lineare dei vettori che compongono W e W ortogonale, che sono appunto le proiezioni "SU" W e W ortogonale e non "DI" W e W ortogonale. Quadra di più?

Grazie in anticipo per le delucidazioni

[Massimo Gobbino]

tutto lo spazio ad esempio è definibile come somma diretta di un sottospazio W ed il suo ortogonale, pertanto se abbiamo un vettore x questo è uguale alla combinazione lineare dei vettori che compongono W e W ortogonale, che sono appunto le proiezioni "SU" W e W ortogonale e non "DI" W e W ortogonale. Quadra di più?

Mica tanto

Ero sicuro di aver già commentato questo post, ma forse la risposta è andata perduta il giorno del crash. Devo dire che questo è risultato in generale un argomento non capito, visto anche quello che è stato scritto ieri nel compitino (anche se quella di ieri non era una proiezione ortogonale).

Una frase detta meglio sarebbe la seguente.

Tutto lo spazio è somma diretta di un sottospazio W e del suo ortogonale, pertanto ogni vettore x dello spazio è uguale alla somma di un vettore w di W e un vettore v di W ortogonale: w e v sono, rispettivamente, le proiezioni di x su W e su W ortogonale.

In generale, quando si chiede di determinare le componenti di un vettore x rispetto ad una somma diretta \(V\oplus W\) (non necessariamente ortogonale), bisogna determinare l'unico vettore \(v\in V\) e l'unico vettore \(w\in W\) tali che \(x=v+w\). La risposta sono quindi due vettori, e non altra roba strana (che magari serve on the road per calcolarli).