Equicoercività

[FApples97]

Alla fine della lezione 24 del 2018 si dice che l'insieme

\(\displaystyle\left \{ u\in H^1: \int_{0}^{1} u'(x)^2\, dx \le 3 \right \}\)

è il "compattone" che fornisce l'equicoercività delle

\(\displaystyle F_n(u)=\int_{0}^{1} n u'(x)^2+(u(x)-\arctan(x))^2\, dx\).

Non ho capito il motivo per cui è vero.
Grazie mille.

[Massimo Gobbino]

Visto che non risponde nessuno, rispondo io.

In effetti in quel punto ho tirato via un po' in fretta, perché il tempo stava scadendo

Nella definizione del "compattone" serve ovviamente anche qualcosa che "limiti le funzioni", e non solo le derivate. Quindi uno osserva che \(F_n\) della funzione identicamente nulla è minore o uguale di 327, oppure anche di 3, e a quel punto può usare

\(\displaystyle\left \{ u\in H^1: \int_{0}^{1} u'(x)^2\, dx \le 327,\ \int_{0}^{1} (u(x)-\arctan x)^2\, dx \le 327 \right \}.\)

[FApples97]

Grazie mille.

[FApples97]

Scusate per i tanti dubbi.
Quando si parla di gamma convergenza e di equicoercività, ad esempio nella situazione di questo post, quale è la nozione di convergenza delle funzioni? Ad esempio, nell'esercizio di sopra per dimostrare che effettivamente quel "compattone" è compatto, dovrei dimostrare che presa una successione a valori nel "compattone" esiste una sottosuccessione convergente ad una funzione nel "compattone". Ma convergente secondo quale nozione di convergenza ? \(L^2\) o la solita?

[teremin]

Non vorrei dirti cavolate, ma mi pare che l'ambientazione della gamma convergenza sia in uno spazio metrico (si usa ad esempio la nozione di aperto e di palle in certi lemmi, come quello che gli inf su un aperto delle \(f_n\) possono solo crollare al liminf). Quindi ti direi che dovresti usare la \(L^2\). Ad esempio, per la dimostrazione della convergenza di quasi minimi n-esimi a un minimo del gamma liminf si usa quel lemma che menzionavo tra parentesi. A meno di rivedere la teoria ad hoc...

Però ti faccio notare che se date delle u_n in K riesci a estrarre una sottosuccessione convergente rispetto alla solita, hai anche naturalmente la \(L^2\) (hai trovato un \(u_{n_k}\) convergente uniformemente ad una u!).

Comunque colgo l'occasione per sollevare una domanda interessante: come facciamo a dimostrare che la nozione di convergenza solita, anche in un Hilbert qualsiasi, non proviene da quella di uno spazio metrico?

Sulla convergenza uniforme delle funzioni, visto che sono \(H^1\) dunque continue su un compatto è la norma infinito (no problemz)
Sulla convergenza debole, stavo pensando che \(\langle u_n, \cdot \rangle\) è un operatore continuo (rispetto alla norma L^2) e lineare da H^1 a \(\mathbb{R}\), ma purtroppo H^1 non è compatto e non si può prendere il max, ma se potessimo mi sembra che darebbe proprio la stessa nozione di convergenza (che dite?). E se per caso la convergenza debole potesse essere testata su una classe \(L^2\)-compatta di funzioni? Il fatto è che tutte le proprietà che mi vengono in mente che una nozione metrica rispetta sono rispettate anche dalla convergenza debole, ad esempio:
1. Se \(x_n \to x\), allora \(x_{k_n} \to x\);
2. Unicità del limite;
3. Per cogliere in un certo senso il fatto delle palle, l'unica che mi è venuta in mente è: se \(y_{k,n} \to x_k\) e \(x_k \to x\) allora per ogni \(n_k \to \infty\) vale \(y_{k, n_k} \to x\) (con il disegnino delle palle è semplice da vedere in un metrico, ma a priori può sembrare strana).

Ciao!
Andrea

P.S: rinnovo la mia questione latex: c'è una scorciatoia a \( ?\)

[Massimo Gobbino]

P.S: rinnovo la mia questione latex: c'è una scorciatoia a "latex"?

Direi di no, ma possiamo discutere su cosa si intende con scorciatoia. Nell'editor, sopra la casella in cui si scrive il post, ci sono dei pulsanti, e uno di questi apre e chiude automaticamente l'ambiente LaTeX, senza nemmeno bisogno di aprire/chiudere dei dollari. Se il pulsante viene premuto dopo aver selezionato del testo, allora il testo viene inserito automaticamente in un ambiente LaTeX. Visto così, mi sembra più comodo del classico dollaro.

La ragione che sta sotto a tutto questo è che, per le persone normali, il dollaro viene usato di solito per indicare la valuta, e quindi i programmatori lo hanno pensato in quel modo e non per aprire la modalità matematica. Una modifica in tal senso richiederebbe quindi di andare a cambiare il codice, cosa che non mi pare che vada la pena di fare.

Quando si parla di gamma convergenza e di equicoercività, ad esempio nella situazione di questo post, quale è la nozione di convergenza delle funzioni?

Venendo ora alle questioni matematiche, nel corso ho descritto la teoria della Gamma convergenza in ambito metrico. Quindi, se si vogliono utilizzare i risultati classici, ad esempio la convergenza di minimi e minimizers, serve mettersi in un contesto metrico. In particolare, il compattone deve essere compattone rispetto alla metrica in cui si fa la Gamma convergenza, il che la maggior parte delle volte vuol dire \(L^2\) (e qui ho schiacciato il pulsante LaTeX prima di scrivere L^2). Se poi invece che \(L^2\) uno preferisce \(L^{28}\), di solito non cambia nulla, perché la nozione è molto stabile.

Detto tra di noi, in realtà a posteriori la convergenza \(L^2\) oppure \(L^{22}\) in un compattone come quello descritto in qualche post precedente implica la convergenza di una sottosuccessione rispetto alla "solita nozione", cioè uniforme sulle funzioni e debole sulle derivate. Questo solo per dire che non si tratta di mondi diversi.

Volendo si potrebbe provare a sviluppare una teoria della Gamma convergenza rispetto ad una nozione di convergenza, ma le seccature sarebbero molte più dei benefici. Infatti, a guardar bene le dimostrazioni, ci sono davvero tanti punti in cui si usano proprietà delle successioni che sono ok in ambito metrico, ma difficili da riprodurre altrimenti.

Comunque colgo l'occasione per sollevare una domanda interessante: come facciamo a dimostrare che la nozione di convergenza solita, anche in un Hilbert qualsiasi, non proviene da quella di uno spazio metrico?

Proviene da una metrica ... il fatto generale che ci sta sotto è che in ogni Hilbert separabile la convergenza debole *sulle palle* è indotta da una metrica. Si tratta in fondo di un esercizio, che però qui lascerebbe il tempo che trova.

[DanieleT]

Lezione 41 - 2017/2018

Nell'esempio 1 della lezione indicata qual è il compatto per l' equicoercività?

[Massimo Gobbino]

Nell'esempio 1 della lezione indicata qual è il compatto per l' equicoercività?

L'insieme delle v in \(H^1\) che verificano le BCs con norma \(L^2\) della derivata minore o uguale a 2019. Il punto essenziale è che i 3 termini della parte di funzione sono globalmente positivi, quindi una stima sul funzionale si traduce in una stima sulla parte di derivata.

[DanieleT]

Chiamiamo \(K\) questo compatto e, come nella lezione, chiamiamo \(G_\epsilon\) la famiglia di funzionali che vogliamo mostrare essere equicoercivi su \(K\).

Se ho capito bene il fatto che una stima su ogni singolo funzionale \(G_\epsilon\) implica una stima sulle norme \(L^2\) delle derivate basta a dimostrare l'equicoercività perché mostra che per ogni \(\epsilon\) fissato esiste un sottolivello di \(G_\epsilon\) contenuto in \(K\), da cui segue facilmente l'equicoercività.

E' ciò che intendeva?

[Massimo Gobbino]

Se ho capito bene il fatto che una stima su ogni singolo funzionale \(G_\epsilon\) implica una stima sulle norme \(L^2\) delle derivate basta a dimostrare l'equicoercività perché mostra che per ogni \(\epsilon\) fissato esiste un sottolivello di \(G_\epsilon\) contenuto in \(K\), da cui segue facilmente l'equicoercività.

Esatto .

[DanieleT]

La ringrazio!