Esercizio2: esame 22 gennaio 2018

[FApples97]

Ho un problema nel dimostrare la regolarità del punto di minimo:
facendo il solito procedimento arrivo a calcolare la variazione prima del funzionale, ma il passaggio di "derivata sotto il segno di integrale" non lo riesco a giustificare: perchè sono soddisfatte le ipotesi del teorema di passaggio in questo caso?
Il passaggio in questione è il seguente:

\(\displaystyle\frac{d}{dt}\left\{\int_{0}^{2017}\cosh( u'(x)+t v'(x) )+\cosh( u(x)+t v(x) )\, dx\right\}=\int_{0}^{2017}\sinh( u'(x)+t v'(x) )v'(x)+\sinh( u(x)+t v(x) )v(x)\, dx\)

Grazie mille

[Massimo Gobbino]

Beh, cerchiamo di capire dove sta il problema.

Nella parte senza le derivate dovrebbe essere tutto liscio, se non sbaglio. Essendo \(u(x)\) e \(v(x)\) continue siamo nell'ambito del teorema di derivazione di integrali parametrici dell'analisi 2.

Nella parte con le derivate serve il teorema di derivazione degli integrali parametrici in ambito Lebesgue, per il quale basta una equi-dominazione della presunta derivata. Serve dunque una stima del tipo

\(|\sinh(u'(x)+tv'(x))v'(x)|\leq g(x)\).

Ora il \(v'(x)\) fuori non dà nessun problema perché è continuo, dunque limitato. Per la parte con il seno iperbolico si può usare la formula di addizione e ci si riduce ad avere l'integrabilità di seno e coseno iperbolico di \(u'(x)\), la quale è sostanzialmente gratis dal fatto che \(u(x)\) rende minimo, dunque in particolare finito, il funzionale.

Torna?

[FApples97]

Si, mi torna. Il mio problema stava nel dimostrare l'integrabilità di seno e coseno iperbolico di \(u'(x)\), grazie mille.