Indeterminatezza della serie

[Mondo]

fai 2 sottosuccessioni che rispecchiano questi valori e hai dimostrato che il limite non esiste..

Il problema è che con questo procedimento dimostro che il limite di sin x (x reale) non esiste e non che il limite di sin n (n naturale) non esiste...

[superskunk]

ma come no?il teorema delle sottosuccessioni dice che due sottosuccessioni di una stessa funzione devono tendere allo stesso L a cui tende la successione...se dimostri che 2 sottosuccessioni tendono a 2 L diversi hai fatto..

[Mondo]

ma quelle che dici tu non sono affatto sottosuccessioni di sin n...
2kpigreco non lo ottieni mai a partire da n...

[superskunk]

ma scusa eh sei sicuro?ad uno stage di matematica l'anno scorso ho sentito che il pigreco rientra nei numeri geometrici e se non sbaglio si può utilizzare in questo caso...poi (probabilmente) sto dicendo cappellate

[Mondo]

non so cosa siano i numeri geometrici però mi sembra che per ottenere una sottosuccessione bisogni "pescare in modo strettamente crescente" tra i termini della successione. E una espressione del tipo 2kpigreco non può mai essere ottenuta a partire da n, naturale...

[Massimo Gobbino]

E, rigorosamente, come faccio a dire che

sin n è infinite volte vicino a 1 ed infinite volte vicino a -1

?

Se vuoi una versione debole puoi usare questo ragionamento. Tra \pi/3 e 2\pi/3 la distanza è maggiore di 1. Quindi la successione n, mentre percorre la circonferenza trigonometrica, cade almeno una volta ogni giro in quell'intervallo. Di conseguenza il sin n ogni giro casca almeno una volta abbastanza vicino ad 1. Stesso ragionamento dall'altra parte della circonferenza. Questo basta per dire che sin n non ha limite.

Tuttavia uno può anche dimostrare un risultato più fine, e cioè che esiste una sua sottosuccessione che tende a 1 (e una che tende a -1). Questo è molto meno banale. Il passo fondamentale è il seguente lemma, valido per \pi e per ogni altro numero reale: per ogni n, esistono 2 interi p_n e q_n tali che
|\pi - p_n/q_n| <= 1/(nq_n).

Da questo lemma è abbastanza semplice dimostrare che n, nel suo peregrinare attorno alla circonferenza trigonometrica, passa infinite volte arbitrariamente vicino a \pi/2.
La dimostrazione del lemma si fa alla sessione preliminari dello stage senior, quindi forse c'è pure in qualche video.

[Mondo]

La dimostrazione del lemma adesso la cerco... intanto propongo un'altra dimostrazione del fatto che sin n si avvicina infinite volte a 1 (e anche a -1).

Io voglio che n sia compreso tra
\pi/2+2k\pi-epsilon
e
\pi/2 +2k\pi+epsilon
con k naturale e epsilon reale maggiore di 0 e piccolo a piacere.
Divido tutto per k ottenendo nel mezzo un numero razionale e a dx e a sx della disuguaglianza due altri reali.
Ora Q è denso in R e quindi il numero razionale cercato esiste. Di conseguenza n si avvicina infinite volte a 1 (basta cambiare il k)

[Massimo Gobbino]

Divido tutto per k ottenendo nel mezzo un numero razionale e a dx e a sx della disuguaglianza due altri reali.
Ora Q è denso in R e quindi il numero razionale cercato esiste.

Avresti ragione se i reali a dx e sx fossero fissi. Ma nel tuo caso dipendono da k . Con il tuo sistema stai cercando di approssimare 2\pi con un errore molto più piccolo del denominatore della frazione approssimante. Ma questo è esattamente il contenuto del lemma...