Minimum problem 10

[Sciabolight]

Ho provato a risolvere il primo esercizio della scheda: penso che il riscalamento giusto per i funzionali sia raccogliere n. In questo modo, si dovrebbe trovare che il coefficiente del primo termine di M_n è 2017^2. Ragionando allo stesso modo nel secondo esercizio, si trova che il coefficiente del primo termine di M_n è 0. Si richiede di calcolare anche quello del secondo termine? In tal caso, quale può essere (se esiste, ovviamente) un riscalamento che consenta di farlo?

[Massimo Gobbino]

Uhm, se il coefficiente viene 0 vuol dire che quello non è il primo termine! Il primo termine è infatti per definizione quello che ha coefficiente diverso da 0 ...

Quegli esercizi sembrano tutti uguali, ma sono in realtà tutti diversi

[C_Paradise]

Ciao! Provo a rispondere alla domanda in questione, ovvero posto per ogni \(n \in \mathbb{N}\)

\(F_n(u) = \int_0^1 n \dot{u}^2 + u^2 - \arctan(u) \, dx\)

dire se \(\inf \{ F_n(u) : u \in H^1(0,1), \ u(0)=u(1)=0 \}\) è infinitesima e in tal caso determinare infinitesimo e parte principale.

Scrivo \(F_n(u)=\frac{1}{n}G_n(u)\) dove \(G_n(u) = \int_0^1 n^2 \dot{u}^2 + nu^2 - n\arctan(u) \, dx\) ponendo poi \(v(x) = n \cdot u(x)\) ottengo

\(\int_0^1 n^2 \dot{u}^2 + nu^2 - n\arctan(u) \, dx = \int_0^1 \dot{v}^2 + \frac{v^2}{n} - n\arctan\big(\frac{v}{n}\big) \, dx = : \check{G}_n(v)\)

e ora è ragionevole aspettarsi che \(\check{G}_n(v)\) Gamma-converga a \(\check{G}(v) = \int_0^1 \dot{v}^2 - v \, dx\)

che ha minimo negativo in quanto la funzione identicamente nulla non risolve Eulero, ma \(\check{G}(0)=0\).

Supponendo di aver dimostrato l'equicoercività delle \(\check{G}_n\) otteniamo che l'ordine di infinitesimo è \(\frac{1}{n}\) e la parte principale è \(\min \check{G}\).

A prima vista potrebbe sembrare che non si usi da nessuna parte il fatto che \(u(0)=u(1)=0\), ma nel caso in cui le condizioni al bordo non sono omogenee si ottiene \(\inf F_n \to +\infty\). Abbiamo usato che le condizioni sono omogenee quando siamo passati da \(u\) a \(v\).

Poi del perché uno decide di raccogliere proprio \(\frac{1}{n}\) se ne potrebbe parlare!

[Massimo Gobbino]

Ottima spiegazione!

[Sciabolight]

Grazie per la risposta precisa e puntuale!