Gauss-Green 1 per il calcolo del flusso

[Matteocas]

Qualcuno saprebbe consigliarmi qualche suggerimento per calcolare il flusso del vettore (x+3y , yz^3 , x+z) sul dominio [x^2+y^2<=1 , x^2+z^2<=1] ? Forse è comodo usare la formula con la divergenza di E ma non riesco ad impostare l'integrale.

[Massimo Gobbino]

Calcolare il flusso di un vettore su un dominio non ha nessun senso.

I flussi si calcolano attraverso superfici orientate. Cosa volevi dire?

[Matteocas]

vero mi sono espresso con una frase senza senso. volevo dire che del vettore c'è da calcolare il flusso uscente dal dominio

[ghisi]

Dato che la divergenza è costante, devi calcolare sostanzialmente il volume dell'intersezione fra due cilindri, e il modo più semplice in questo caso è scrivere \(y\) e \(z\) in funzione di \(x\).

[Giacinto Gallina]

Dato che la divergenza è costante, devi calcolare sostanzialmente il volume dell'intersezione fra due cilindri, e il modo più semplice in questo caso è scrivere \(y\) e \(z\) in funzione di \(x\).

La divergenza non è costante, è \(z^3+2\), ma I'integrale è comunque fattibile per sezioni, come visto a lezione nell'esercizio della "fogna", tuttavia non capisco perché non ci sia bisogno, in questo esercizio, di mettere dei "tappi" alla superficie, come negli altri in cui bisogna spezzare la frontiera della superficie isolando i "tappi".

[ghisi]

La divergenza non è costante, è \(z^3+2\),

Hai ragione, ma l'integrale di \(z^3\) su un dominio simmetrico come questo...

ma I'integrale è comunque fattibile per sezioni, come visto a lezione nell'esercizio della "fogna", tuttavia non capisco perché non ci sia bisogno, in questo esercizio, di mettere dei "tappi" alla superficie, come negli altri in cui bisogna spezzare la frontiera della superficie isolando i "tappi".

Flusso uscente dal dominio vuol dire flusso attraverso *tutto* il bordo del dominio che quindi è una superficie chiusa, dunque i questo caso non ci sono da aggiungere/isolare tappi.

Forse ho capito il tuo problema e vediamo se riesco a spiegarti come stanno le cose con un altro esempio. Se tu prendi tutta la sfera piena, la sua superficie è la superficie della sfera e basta, se prendi mezza sfera V (piena) la superficie è la parte di superficie sferica S più un cerchio D (pieno). Se quindi chiedi il flusso solo attraverso la parte di superficie sferica S, se vuoi usare Gauss-Green devi *tapparla* dato che da sola non sarebbe il bordo di V e poi isolare il tappo (visto che non faceva parte della superficie originale).

[Giacinto Gallina]

Forse ho capito il tuo problema e vediamo se riesco a spiegarti come stanno le cose con un altro esempio. Se tu prendi tutta la sfera piena, la sua superficie è la superficie della sfera e basta, se prendi mezza sfera V (piena) la superficie è la parte di superficie sferica S più un cerchio D (pieno). Se quindi chiedi il flusso solo attraverso la parte di superficie sferica S, se vuoi usare Gauss-Green devi *tapparla* dato che da sola non sarebbe il bordo di V e poi isolare il tappo (visto che non faceva parte della superficie originale).

Tutto chiaro, grazie