Assioma di continuità e completezza

[keine_ahnung]

Ho un dubbio riguardo l’assioma di continuità. Il prof. Gobbino dice che si può dedurre usando la completezza e la proprietà Archimedea, ma non riesco a capire in che modo la proprietà Archimedea si usa per dedurre che le due successioni sono di Cauchy.

Grazie

[Massimo Gobbino]

Prova ad esplicitare meglio il tuo dubbio: come faresti per dimostrare che le due successioni sono di Cauchy?

[keine_ahnung]

Grazie per la risposta. Penso di aver capito dove va usata la proprietà Archimedea. Serve per essere sicuri che per ogni $\epsilon$ esista un $n$ per cui si possa scrivere $b_0-a_0<\epsilon*2^n$. È giusto?
Mi rimane però un dubbio concettuale. Se si definiscono i reali usando la completezza invece che l’assioma di continuità è necessario anche assumere che i reali siano uno spazio metrico su cui quindi ha senso fare i limiti? Poiché nella definizione di limite si assume che l’epsilon sia reale, non è un po’ come mangiarsi la coda definire i reali assumendo che si possa fare il limite quando la definizione di limite stesso richiede aver definito i reali? Non so, forse mi sfugge qualcosa.

[Massimo Gobbino]

Penso di aver capito dove va usata la proprietà Archimedea. Serve per essere sicuri che per ogni $\epsilon$ esista un $n$ per cui si possa scrivere $b_0-a_0<\epsilon*2^n$. È giusto?

Esatto!

Mi rimane però un dubbio concettuale. Se si definiscono i reali usando la completezza invece che l’assioma di continuità è necessario anche assumere che i reali siano uno spazio metrico su cui quindi ha senso fare i limiti? Poiché nella definizione di limite si assume che l’epsilon sia reale, non è un po’ come mangiarsi la coda definire i reali assumendo che si possa fare il limite quando la definizione di limite stesso richiede aver definito i reali? Non so, forse mi sfugge qualcosa.

No, non ci si mangia la coda, ma bisogna aver chiaro in quale ordine si danno le definizioni. In un campo in cui valgono gli assiomi algebrici e di ordinamento non ci sono problemi a fare sottrazioni, valori assoluti e disuguaglianze. Pertanto possiamo dare la definizione di successione di Cauchy relativa a quel campo, nel senso che $a_n$ è di Cauchy nel campo se e solo se per ogni $\varepsilon$ nel campo e maggiore di 0 (lo 0 del campo, ovviamente) vale quello che deve valere quando m ed n sono abbastanza grandi.

Anche la definizione di limite si può dare solo relativamente a quel campo: $a_n\to a_\infty$ se e solo se per ogni $\varepsilon$ nel campo e maggiore di 0 vale che $|a_n-a_\infty|\leq\varepsilon$ definitivamente.

Finora dei reali non abbiamo usato niente, anche se la definizione di limite è quella che poi a posteriori varrà nei reali.

Ora possiamo enunciare l'assioma di completezza chiedendo che ogni successione di Cauchy relativa a quel campo abbia un limite relativo a quel campo.

[keine_ahnung]

Mi continua a sfuggire solo un piccolo dettaglio, l’oggetto $|a_n-a_\infty|$ è una distanza. Ma le distanze, indipendentemente dall’insieme di partenza, non hanno sempre come insieme d’arrivo $\mathbb{R}$? Perché in tal caso allora anche $\epsilon$ dovrebbe essere a priori reale (e quindi la definizione di limite richiederebbe sempre l’uso dei reali). Oppure è possibile definire distanze che hanno come insieme d’arrivo lo stesso insieme di partenza, anche se questo è diverso da $\mathbb{R}$?
Spero di essere riuscito a spiegare il mio dubbio anche se forse risulta un po’ contorto.

Ah, dimenticavo. Il fatto che ogni successione di Cauchy converga implica anche la scelta di una determinata distanza a priori? Visto che una successione non può essere di Cauchy per qualunque definizione di distanza. Oppure lo è?

[Massimo Gobbino]

Mi continua a sfuggire solo un piccolo dettaglio, l’oggetto $|a_n-a_\infty|$ è una distanza.

No: sarà una distanza solo il giorno in cui saremo più acculturati. In questo momento stiamo definendo i reali, per cui l'unica cosa che conosciamo sono i campi ordinati, e quell'oggetto è solo il valore assoluto di una differenza, cosa che ha perfettamente senso in un campo ordinato.

Comunque sì, se proprio ci teniamo, nessuno ci impedisce di definire distanze a valori in posti strani, anche diversi dai reali o da quello di partenza. Ma qui il fatto che sia una distanza è irrilevante, nel senso che non usiamo proprietà tipiche della distanza, come la triangolare o la simmetria.

[keine_ahnung]

Adesso ho capito.
Grazie mille, gentilissimo.