Analisi 2 -- 2017/2018 -- Compitini

[Massimo Gobbino]

Ecco i testi delle prove in itinere (il post viene aggiornato man mano che ci saranno le prove).

Chiunque voglia cimentarsi con le soluzioni (anche parziali) è benvenuto.

[Massimo Gobbino]

Segnalo una soluzione davvero astuta del numero 6 del primo compitino, liberamente tratta dallo svolgimento di un partecipante.

[+] Spettacolo

Dalla disuguaglianza tra media aritmetica e quadratica con A=2x, B=y+z, C=y+z deduciamo che

\(\dfrac{2(x+y+z)}{3}\leq\sqrt{\dfrac{4x^2+(y+z)^2+(y+z)^2}{3}}=\sqrt{\dfrac{4(x^2+yz)+2(y^2+z^2)}{3}}\leq 4\sqrt{2},\)

da cui

\(x+y+z\leq 6\sqrt{2}.\)

D'altra parte si verifica che il punto

\((x,y,z)=\left(2\sqrt{2},2\sqrt{2}+1,2\sqrt{2}-1\right)\)

sta nell'insieme e verifica l'uguaglianza. Così abbiamo trovato il massimo.

Ora basta osservare che \(f(-x,-y,-z)=-f(x,y,x)\) e che l'insieme è invariante per la trasformazione \((x,y,z)\to(-x,-y,-z)\) per dedurre che il min è uguale al max cambiato di segno.

[Massimo Gobbino]

Ho aggiunto il secondo compitino. Imperitura gloria a chi posta qualche soluzione.

[Massimo Gobbino]

Un po' in ritardo ho aggiunto il terzo compitino.