studio segno forma quadratica

[zio_mangrovia]

Secondo voi posso studiare questa forma quadratica con Sylvester o con il completamento dei quadrati?

\(x^2+4y^2+4z^2-4xy+4xz-8yz\)

[GIMUSI]

con il completamento dei quadrati è banale se uno lo individua (in questo caso è abbastanza semplice)

con Sylvester trovi: det1=1 tutti i det2=0 e det3=0; quindi ci sono sicuramente un autovettore positivo ed uno nullo ; la segnatura deve essere necessariamente + 0 0 perché se fosse + - 0 oppure + + 0 ci dovrebbe essere almeno un minore 2x2 con det non nullo

[GIMUSI]

prova a determinare con Sylvester la segnatura di questa

\(A = \begin{pmatrix}
-1 & -1 & -1 \\
-1 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 1
\end{pmatrix}\)

[zio_mangrovia]

Provo a ragionarci:

il utilizzando Sylvester 1-2-3 e calcolando i relativi determinanti ottengo:

\(det1=1\)
\(det2=-2\)
\(det3=-3\)

la prima segnatura è + in quanto il det1=1 quindi positivo
det2=-2 quindi negativo, per cui la seconda segnatura sarà per forza - (valore positivo*valore negativo=valore negativo)
det3=-3, quindi negativo, la terza segnatura sarà per forza + perché il det2 era negativo e per mantenere lo stesso segno deve essere moltiplicato per una valore positivo.
in sostanza avrò: +-+

\(N_+=2\)
\(N_-=1\)

Corretto? Terminologia appropriata? Grazie per le correzioni.

[GIMUSI]

...
in sostanza avrò: +-+

\(N_+=2\)
\(N_-=1\)

Corretto? Terminologia appropriata? Grazie per le correzioni.

esatto!

per la terminologia credo che "segnatura" vada riferito alla terna finale