Proposta di integrale triplo da compitino

[Valerio]

Salve, mi sono bloccato con l'esercizio 3 del secondo compitino di meccanica a.a. 2016/2017. Una volta stabilito che V è un solido di rotazione attorno all'asse y ( \(x^2+z^2=1-y^4\)) come si può impostare l'integrale triplo? Questo esercizio mi ha messo un po' a corto di idee....

[GIMUSI]

il primo integrale è banalmente nullo per simmetria

per il secondo è conveniente ragionare su una metà del dominio in modo da eliminare il valore assoluto e poi utilizzare le coordinate cilindriche

allego un possibile svolgimento

[Valerio]

il primo integrale è banalmente nullo per simmetria

per il secondo è conveniente ragionare su una metà del dominio in modo da eliminare il valore assoluto e poi utilizzare le coordinate cilindriche

allego un possibile svolgimento

Usando le coordinate cilindriche diventa veramente semplice !. Tuttavia anche se ho visualizzato che l'insieme V ha la forma di una specie di ruota o di una palla schiacciata non sono riuscito bene a capire i ragionamenti che stanno sotto alle osservazioni sulle simmetrie. Ovvero perchè il primo integrale è nullo mentre il secondo è 2 volte l'integrale su V considerando le sole y positive.

[Valerio]

Ho provato a ragionare sulle simmetrie dell'integranda e di V. V è una specie di botte che si ottiene ruotando \(√(1-y^4)\)attorno all'asse y. Si ottiene appunto quella botte che ho cercato di disegnare col colore verde. Calcolare l'integrale di y su V vorrebbe dire calcolare l'area di quelle 2 superfici che ho colorato di rosso e blu che stanno sotto l'asse y perchè questo coincide con la funzione integranda (giusto ?!?) . Quella rossa è l'area (integrale) calcolata considerando le y positive su V, quella blu considerando le y negative. Sono 2 superfici uguali quindi hanno la stessa area e da questo si può concludere facendo le due osservazioni geometriche che mi dicono che l'integrale di y su V è nullo mentre l'integrale di IyI è 2 volte quello sulle y positive. Giusto?

[GIMUSI]

esatto!

anche senza il disegno di V, che comunque è sempre molto utile fare o almeno avere in mente, dalla definizione di V si vede subito che il dominio è simmetrico rispetto a tutti e tre i piani x=0, y=0 e z=0 (e.g. rispetto al piano y=0, se un punto P di coordinate (a,b,c) appartiene a V anche P' di coordinate (a,-b,c) appartiene a V)

una volta che questo ti è chiaro, il primo integrale è necessariamente nullo perché y è dispari su un dominio simmetrico e il secondo lo puoi spezzare rispetto al piano y=0 considerando solo metà dominio perché |y| è pari

[GIMUSI]

Ho provato a ragionare sulle simmetrie dell'integranda e di V. V è una specie di botte che si ottiene ruotando \(√(1-y^4)\)attorno all'asse y. Si ottiene appunto quella botte che ho cercato di disegnare col colore verde...

il mio "esatto si riferiva a questa parte

...Calcolare l'integrale di y su V vorrebbe dire calcolare l'area di quelle 2 superfici che ho colorato di rosso e blu che stanno sotto l'asse y perchè questo coincide con la funzione integranda (giusto ?!?) . Quella rossa è l'area (integrale) calcolata considerando le y positive su V, quella blu considerando le y negative. Sono 2 superfici uguali quindi hanno la stessa area e da questo si può concludere facendo le due osservazioni geometriche che mi dicono che l'integrale di y su V è nullo mentre l'integrale di IyI è 2 volte quello sulle y positive. Giusto?

questo non è corretto, l'integrale di y su V corrisponde a calcolare la coordinata y del baricentro di V (che è zero per ragioni di simmetria)

l'integrale di |y| su V come detto è uguale a 2 volte l'integrale di y su V* che corrisponde alla coordinata y del baricentro di V*