Dominio funzione integrale

[trida]

Ciao a tutti, ho un dobbio e non riesco a trovare da nessuna parte una risposta.
Devo calcolare il dominio della funzione F(x)= integrale di e^(-t^2)/(t^2 -1) compreso tra x^2 e x^2+1/2. ( e poi dovrei anche studiarla, ma un problema alla volta )

Io ho iniziato a studiare il dominio di f(x) e mi risulta essere tutto R escluso il punto [-1,1]. -1 non mi interessa perche il mio integrale è compreso tra due numeri positivi. pero mi rimane il punto 1 e soprattutto trovare il dominio.
Qaulcuno può aiutarmi, grazie mille

[GIMUSI]

i problemi ci sono quando \(1 \in [x^2,x^2+1/2]\)

[trida]

Il mio professore mi semplicemente detto di fare x^2 +1/2 < 1 senza fare tutto quei passaggi

[trida]

cioe per esempio in questa funzione come faccio a capire se il punto 0+ fa parte del mio dominio o no ?

[GIMUSI]

Il mio professore mi semplicemente detto di fare x^2 +1/2 < 1 senza fare tutto quei passaggi

ma la funzione esiste anche per x>1 mi pare

[GIMUSI]

cioe per esempio in questa funzione come faccio a capire se il punto 0+ fa parte del mio dominio o no ?

dire che il "punto 0+" fa parte del dominio non ha molto senso, anche se credo di capire a cosa tu ti riferisca

nel caso in esame (trascurando il fatto che lo zero è già inserito nell'integrale, quindi dando implicitamente per scontato che faccia parte del dominio) come estremo dell'integrale lo zero va bene perché l'integrale vicino allo zero non ha problemi, nel senso che converge;

per quanto riguarda l'appartenenza al dominio forse andrebbe escluso per motivi burocratici quindi il dominio sarebbe \(x\in(0,+\infty)\)

allego una traccia di svolgimento

[EDIT] corretto un errore sul calcolo della derivata + dominio senza lo zero (per motivi burocratici )

[trida]

il procendimento è uguale al mio, pero ho alcune domande, quindi ogni volta che la mia funzione f(x) che ha un punto di discontinuita, nel nostro caso lo zero, ma è presente negli estremi di integrazione dell' integrale è automaticamente dentro al dominio della funzione F(x) ? poi come mai hai cambiato estremi di integrazione; cioè sei passato da (0,2x) a (o,1) ? poi il logaritmo è asintotico a 1/rad(x) ? infine per fare i limiti hai svolto semplicemente l'integrale giusto ?

Scusami per le tante domande, forse anche banali, solo che ha spiegato il tutto abbastanza velocemente e su internet non trovo niente sullo studio di funzioni integrali. Grazie mille

[GIMUSI]

...quindi ogni volta che la mia funzione f(x) che ha un punto di discontinuita, nel nostro caso lo zero, ma è presente negli estremi di integrazione dell' integrale è automaticamente dentro al dominio della funzione F(x) ? ...

non posso dire che sia così in generale, in alcuni casi magari ci potrebbe essere un errore o un refuso nel testo

in questo caso l'integrale non ha problemi vicino allo zero (converge)

chi ha proposto l'esercizio lo ha evidentemente dato per scontato (nel senso che questa parte non faceva parte della risoluzione)

sul fatto che appartenga al dominio in effetti ora mi viene un dubbio visto che crea problemi al logaritmo ...anzi direi proprio che sia da escludere (anche se per motivi molto burocratici)

poi come mai hai cambiato estremi di integrazione; cioè sei passato da (0,2x) a (o,1) ? poi il logaritmo è asintotico a 1/rad(x) ? ...

prescindendo dal fatto che lo zero fosse indicato tra gli estremi, per accertarmi del fatto che non ci fossero problemi, ho considerato un intervallo "vicino" allo zero per studiare la convergenza, applicando il criterio del confronto asintotico (è un metodo standard per lo studio degli integrali impropri; vd. lez. 35 AM1 16-17)

...infine per fare i limiti hai svolto semplicemente l'integrale giusto ?

in questo caso si tratta di limiti banali fatti ad occhio ( a zero perché coincidono gli estremi di integrazione, a infinito perché la funzione integranda va a +infinito)

...e su internet non trovo niente sullo studio di funzioni integrali...

strano perché ci si trova un po' di tutto, tra l'altro io non sono espertissimo in questo tipo di esercizi quindi prendi i miei suggerimenti con le pinze

prova a dare un'occhiata alla lezione 73 di AM1 16-17 oppure qui studio-della-funzione-integrale

[trida]

No perche sono esercizi del professore che aveva messo negli anni precendenti e ci metterà sicuramente nell'esame e stavo cercardo di risolverli, io mi ricordo che ci aveva detto che era presente un punto di discontinuita in f(x) ma questo si integrava in F(x) (cioè convergeva) allora faceva parte del dominio di F(x). So cos'è il confronto asintotico, pero non sapevo che il logaritmo fosse asintotico a 1/rad(x), cio di solito lo usavamo per cose "piu ovvie" per sen(X) è asintotico a x per x che tende a zero e cose del genere quindi se avessi avuto un esponenziale del tipo e^-t^2 potevo tranquillamente fare lo stesso ragionamento.
Io stavo vedendo le lezioni del 2011, proverò a dare un'occhiata a quelle del 2017.
Ti ringrazio veramente tanto per i consigli e soprattutto per la pazienza

[GIMUSI]

...non sapevo che il logaritmo fosse asintotico a 1/rad(x)...

non è asintotico perché il limite del rapporto fa zero, però si dimostra lo stesso la convergenza come caso estremo

...quindi se avessi avuto un esponenziale del tipo e^-t^2 potevo tranquillamente fare lo stesso ragionamento...

beh \(e^{-t^2}\) non ha proprio problemi da nessuna parte quindi converge per forza

...Ti ringrazio veramente tanto per i consigli e soprattutto per la pazienza...

figurati è un piacere e si impara sempre qualcosa dal confronto con altri studenti o amanti della materia, anzi scusami se ho fatto un po' di confusione nelle risposte, mi resta il dubbio se lo zero appartenga o meno al dominio, io direi di sì moralmente ma no burocraticamente

[Massimo Gobbino]

mi resta il dubbio se lo zero appartenga o meno al dominio, io direi di sì moralmente ma no burocraticamente

Esatto!

Burocraticamente non ha senso integrare tra 0 e 0 una funzione che non è definita in 0. D'altra parte, considerando la funzione integrale ben definita per x>0, questa si estende con continuità anche fino a x=0, ed il valore nel punto limite è proprio 0. Questo accade tutte le volte che l'integrale improprio in un intorno di zero risulta convergente.

È un po' come chiedersi se \(\dfrac{\sin x}{x}=1\) per x=0. Burocraticamente no, ma la funzione definita per x diverso da 0 si estende in modo continuo a tutta la retta mettendola uguale ad 1 per x=0.

[trida]

Prima di tutto vi ringrazio molto per avermi tolto diversi dubbi con le vostre spiegazioni.
In questi giorni ho provato a fare diversi studi di funzioni integrale e ho problemi con una. Non mi torna il grafico con il segno della derivata
Allego il mio svolgimento completo dello studio di funzione

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[GIMUSI]

...
In questi giorni ho provato a fare diversi studi di funzioni integrale e ho problemi con una. Non mi torna il grafico con il segno della derivata
Allego il mio svolgimento completo dello studio di funzione

allego anche una mia traccia di svolgimento

come per il precedente studio, credo che per gli stessi motivi burocratici lo zero sia da escludere dal dominio

171123 - Dominio funzione integrale 03.pdf

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[trida]

Lo zero l'ho considerato nel dominio perché ne abbiamo parlato in classe e il professore e lui ne tiene conto. Poi non hai calcolato il segno di F(X) ma ti sei affidato al segno della deriva per un motivo preciso o perché non si poteva calcolare il segno di F(x) ?

[GIMUSI]

Lo zero l'ho considerato nel dominio perché ne abbiamo parlato in classe e il professore e lui ne tiene conto. Poi non hai calcolato il segno di F(X) ma ti sei affidato al segno della deriva per un motivo preciso o perché non si poteva calcolare il segno di F(x) ?

a beh è di manica larga contro le burocrazie...bene

ma sai so che parte in (1/4,0), so che cresce e che ha un max in x=1/e,so che passa per (1,0), so che ha un minimo in x=e, poi so che cresce e va ad infinito...hai voglia informazioni eh