Ammissibilità del seguente cambio di variabili

[Federico.M]

Nella risoluzione di un esercizio sui limiti di funzioni di due variabili, è lecito porre il seguente cambio di variabili

x + y = 2z e x – y = 2w

affermando che, senza nessuna ipotesi ulteriore, (x,y) che tendono a (0,0) implica che anche (z,w) tendono a (0,0) ?
Come esempio allego una soluzione dell'esercizio 5, Limiti 3, Esercizi di Analisi Matematica 2.
Risposte, correzioni e soluzioni alternative sono ben gradite.
Grazie.

[Massimo Gobbino]

Nella risoluzione di un esercizio sui limiti di funzioni di due variabili, è lecito porre il seguente cambio di variabili

x + y = 2z e x – y = 2w

affermando che, senza nessuna ipotesi ulteriore, (x,y) che tendono a (0,0) implica che anche (z,w) tendono a (0,0) ?

Assolutamente corretto. Si tratta, in fondo, di un cambio di base nel piano. Formalmente bisognerebbe verificare che il vettore (x,y) ha norma "piccola" se e solo se il vettore (z,w) ha norma "piccola".

Nell'esempio specifico, il cambio di variabili poteva essere evitato mettendo i valori assoluti e osservando che

\(\dfrac{|\sin t|}{|t|}\leq 1\)

per ogni valore di t. A quel punto resta solo l'altro termine con il seno della differenza ed il gioco è fatto.

[Federico.M]

Grazie per le dritte professore.. A volte sfuggono anche le cose più semplici..