Funzione inversa, ordine di infinito e parte principale

[polvere]

Mi sto cimentando con Ricapitolazione - Funzioni inverse 1 del corrente eserciziario di AM1

L'esercizio chiede parte principale ed ordine di infinito/infinitesimo della funzione inversa di :

\(f(x) = x^3 + 2x\)

Per l'infinitesimo pensavo a taylor, ma per l'infinito?
Ho qualche idea molto brutale, tipo provare a ragionare sul fatto che la funzione all'infinito è asintotica ad \(x^3\), ma penso che infrangerei qualsiasi legge del buonsenso. L'idea brutale mi suggerirebbe un asintotica a \(\sqrt[3]{x}\) ma non saprei davvero come giustificarla

[C_Paradise]

Ciao! Per l'ordine di infinito anch'io direi che va come \(y^{1/3}\) con parte principale \(1\) mentre per l'infinitesimo direi che si comporta come \(y\) con parte principale \(1/2\). Un primo modo che mi viene in mente per giustificare queste affermazioni, una volta che uno ha capito quali sono gli ordini, e di usare un cambio di variabile nei limiti, prova a vedere se si riesce a fare, casomai riproviamo.

[polvere]

Un cambio di variabili nei limiti della f(x) non credo giustifichi un cambio di funzione

[C_Paradise]

Ok, vediamo se può funzionare

\(\displaystyle \lim_{y \to \pm\infty} \frac{g(y)}{y^{1/3}} = \lim_{x \to \pm\infty}\frac{g(f(x))}{f(x)^{1/3}}=\lim_{x \to \pm\infty}\frac{x}{(x^3+2x)^{1/3}} = 1\)

mentre

\(\displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{g(y)}{y} = \lim_{x \to 0}\frac{g(f(x))}{f(x)}=\lim_{x \to 0}\frac{x}{x^3+2x} = \frac{1}{2}\)

[polvere]

Ok, vediamo se può funzionare

\(\displaystyle \lim_{y \to \pm\infty} \frac{g(y)}{y^{1/3}} = \lim_{x \to \pm\infty}\frac{g(f(x))}{f(x)^{1/3}}=\lim_{x \to \pm\infty}\frac{x}{(x^3+2x)^{1/3}} = 1\)

mentre

\(\displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{g(y)}{y} = \lim_{x \to 0}\frac{g(f(x))}{f(x)}=\lim_{x \to 0}\frac{x}{x^3+2x} = \frac{1}{2}\)

Ho capito cosa intendevi dire, perdonami ma a prima lettura non avevo proprio capito cosa tu intendessi. Poi tra l'altro ho chiesto anche al professore (che aveva letto la tua risposta) e mi ha spiegato cosa tu intendessi dire. Grazie mille, ora è tutto chiaro!

[C_Paradise]

Non ti preoccupare, a volte due formule valgono più di tante parole