Formule chiuse non chiare

[polvere]

\(x_{n+1} = 2x_n - n^2\)

Risolvendo prima l'omogenea associata e poi ricercando la soluzione particolare facendo il "tentativo" con \(x_n = an^2 + bn + c\) trovo come formula chiusa \(x_n = 2^nx_0 + n^2 + 2n +3\), che però non è la soluzione corretta. La soluzione dovrebbe essere \(x_n = 2^{n-1}(x_0 - 6) + n^2 + 2n +3\)

Non capisco il perchè. Dove sbaglio? Grazie in anticipo

[GIMUSI]

se non sbaglio la soluzione esatta dovrebbe essere \(x_n = 2^{n-1}(2x_0 - 6) + n^2 + 2n +3\)

questa \(x_n = 2^nx_0 + n^2 + 2n +3\) non funziona perché per n=0 si otterrebbe \(x_0=x_0+3\)

[Massimo Gobbino]

Penso che la confusione di polvere nasca dalla notazione. La formula chiusa per la soluzione generale è

\(c2^n+n^2+2n+3\)

dove c è un parametro libero arbitrario. Ora occorre determinare c conoscendo \(x_0\). Con facili calcoli si trova \(c=x_0-3\), da cui

\(x_n=(x_0-3)2^n+n^2+2n+3\)

che è poi la soluzione di GIMUSI.

[polvere]

Ho capito l'errore! Grazie mille!